loi des distances

Evariste Galois
Evariste Galois
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous,

Toujours dans un ascenseur je me suis posé une question dont la réponse intuitivement me parait simple mais que je n'arrive pas à démontrer formellement.

On considère que l'on est dans un ascenseur rectangulaire : largeur $n_1$ et longeur $n_2$ unité. On fait rentrer N personnes à l'interieur.
Les individus sont réduits à des points. On suppose que les personnes se placent suivant une loi uniforme dans l'ascenseur ($\mathcal{U}([0, n_1] \times [0; n_2])$ ) et qu'ils sont i.i.d.

Je cherche a calculer la distance moyenne entre les individus. Par distance je parle de la distance Euclidienne : $d( X_1 ;X_2 ) = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

Avec un peu de bon sens paysan, je me dis que la moyenne doit être de la forme : $\displaystyle{ 0 \leq \frac{f(C_{N}^{2},n_1,n_2)}{N} \leq \frac{\sqrt{n_1^2 +n_2^2}}{N}}$

Mais voilà a part le nombre de couple, je n'arrive pas à avancer... je ne vois pas comment m'y prendre.

Est-ce que vous avez des idées?

Réponses

  • Lucas
    Lucas
    Qu'est-ce que tu appelles la "distance moyenne entre les individus" ? Tu veux dire la distance entre deux individus fixés (auquel cas le nombre de personnes dans l'ascenseur ne joue pas de rôle) ou la plus petite distance entre un individu fixé et tous les autres ?
  • Ciara
    Ciara
    La v.a. D:

    $ D = \frac{1}{N^2} \sum_{i,j \in \{1,\ldots,N\}} \sqrt{(X_i-X_j)^2+(Y_i-Y_j)^2} $

    donne la moyenne des distances entre les individus, et on veut calculer $E(D)$:

    $ E(D) = \frac{1}{N^2} \sum_{i,j \in \{1,\ldots,N\}} \frac{1}{n_1^2 \times n_2^2} \int_{[0,n_1]\times[0,n_2]\times[0,n_1]\times[0,n_2]} \sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2} dx_i dy_i dx_j dy_j $
  • Lucas
    Lucas
    OK, donc c'est bien ce que je pensais, $N$ n'intervient pas. On est en train d'additionner $\binom{N}{2}$ variables aléatoires de même loi, donc il suffit de calculer l'espérance d'une seule. C'est une intégrale.
  • Evariste Galois
    Evariste Galois
    Lucas, les individus ne sont pas fixés.
    Je vais illustrer ma demande car j'ai peur d'etre un peu maladroit dans ma demande.

    imaginons que l'on ait 3 Individus : A, B,C.
    On cherche a connaitre (d(A,B)+d(B,C)+d(A,C))/3.

    Du coup tu me conseilles de chercher d(X,Y) puis d'utiliser la linéarité de l'espérence...

    Ciara j'étais arrivé à ce genre d'integrale, et je ne sais pas pourquoi j'avais invalidé mon résultat.

    Merci pour vos réponses :)
  • Lucas
    Lucas
    > tu me conseilles de chercher d(X,Y) puis d'utiliser la linéarité de l'espérence

    Ouaip (sauf que si tu divises par 3 quand tu as 3 individus alors ça veut dire que dans ta formule tu devrais mettre $\binom{N}{2}$ au lieu de $N^2$ mais bon, on est d'accord).

    Tout ça pour dire que ton résultat ne dépend pas de $N$.
  • Ga?
    Ga?
    L'année dernière, un fil sur la distance moyenne dans un carré avait été l'occasion de nombreux messages.
  • Evariste Galois
    Evariste Galois
    euuh... oui mon exemple est malheureux $ C_{3}^2 =3$.
    Mes résultats intuitifs ne sont pas vérité... C'est juste une traduction mathématiques de :"plus il y a de monde dans l'ascenseur, plus les gens sont proches, et donc plus la distance entre eux tend vers 0".

    J'ai parcouru la file que tu m'as conseillé Ga?, et je pense que tout est dedans.
  • Nyx3
    Nyx3
    C'est normal que ce n'est pas vérifié, Evariste Galois, quelle est la surface occupée par un point ? Le fait que le point soit de mesure nulle par rapport au rectangle considéré fait que, tu tires au hasard des points dans ce rectangle, tu ne risques jamais le recouvrement !!!

    Essaie maintenant de refaire ton raisonnement mais en te disant que les personnes sont des disques (unité pour fixer les idées). La, vu que tu vas vouloir interdire les recouvrements, tu es certain que ton résultat dépendra de N...
  • Lucas
    Lucas
    "plus il y a de monde dans l'ascenseur, plus les gens sont proches, et donc plus la distance entre eux tend vers 0".

    D'où mon premier message! Là tu es en train de parler de la distance minimale entre un individu et tous les autres, c'est pas ce que tu as écrit dans ta formule qui était la distance entre deux individus fixés à l'avance.
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