combinaison avec répétition

Gwen5
Gwen5
dans Les-mathématiques
Titre initial : combinaison avec répétition d'objets partiellement discernables
[Un titre doit être concis. :) AD]

Bonjour,

Je souhaiterais résoudre le problème suivant :

Combien existe-t-il de combinaison (sans tenir compte de l'ordre) de $\{n_1,n_2,\ldots,n_q \}$
telles que $1\leq n_1 \leq N_1,\ 1\leq n_2 \leq N_2,\ \ldots, \ 1\leq n_q \leq N_q$ et $N_1 \leq N_2\leq \ldots \leq N_q$

Merci d'avance pour toute aide.

Réponses

  • Evariste Galois
    Evariste Galois
    Salut,

    Je serai bien tenté de dire que tu as :$ \displaymathstyle{ \Pi_{i=1}^q N_q}$

    Je n'ai pas de démonstration rigoureuse, mais juste un peu de bon sens aliée à de la réccurence!

    Si $q=1$, et que $N_1=\{1; \cdots ; N_1\}$, alors tu as $N_1$ combinaisons. possibles
    Si $q=2$, tu construis les combinaisons possibles en prenant celles de $q=1$ auxquelles tu rajoutes à la fin (l'ordre n'a pas d'importance) un élément de $N_2$, donc tu as $N_1 \times N_2$ combinaisons.
    Reste plus qu'a faire le cas général par récurrence.
  • Surcorps
    Surcorps
    Salut,

    Ce n'est pas clairement précisé mais j'ai tendance à comprendre que les $n_i$ sont tous distincts.

    On choisit d'abord $n_1$ puis $n_2$ puis $n_3 $ etc \ldots On divise ensuite par le nombre de façons d'ordonner les $n_i$.

    Pour $q=1$, on a $N_1$ choix,
    pour $q=2$, on a $\dfrac{N_1\times (N_2-1)}{2}$ choix,
    pour $q=3$, on a $\dfrac{N_1\times (N_2-1)\times (N_3-2)}{6}$ choix,

    pour $q$ quelconque , on a donc $\dfrac{N_1\times (N_2-1) \times \ldots \times (N_{q-1}-(q-1)) \times (N_q-q)}{q!}$ possibilités.

    Je ne sais pas si il existe une formule plus condensée (avec des coefficients multinomiaux).

    Voilà, j'espère que je n'ai pas dit de bêtises.
  • Dustblazer2525
    Dustblazer2525
    Bonjour Gwen
    On pose $N=N_{1}+\cdots +N_{q}$. S'agit-il bien de trouver le nombre de solutions en nombres entiers des inéquations
    \begin{equation*}
    q\leq n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{q}\leq N
    \end{equation*}
    avec $1\leq n_{1}\leq N_{1},\ 1\leq n_{2}\leq N_{2},\ \ldots ,\ 1\leq n_{q}\leq N_{q}$ et $N_{1}\leq N_{2}\leq \ldots \leq N_{q}~?$

    Autrement dit s'agit-il du problème du nombre de répartitions de boules indiscernables dans des urnes discernables à capacités limitées~?
    Cordialement
    A+


    [Avec le LaTeX du forum, il ne faut pas utiliser le \% comme commentaire, sinon, tout le reste du message est considéré comme commentaire et n'est pas affiché. ;) AD]
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