Formalisation d'une probabilité

Evariste Galois · October 2009

Bonjour à tous,

Je me pose la question suivante :
On imagine un ascenceur qui dessert tous les étages en $n_1$ et $n_2$ avec $n_1 \in \mathbb{N} $ et $n_2 \in \mathbb{N} $ tels que $0<n_1 \leq n_2$.
On a k personnes qui montent dans cet ascenseur au rez de chaussée.
On note : $ e_i$ l'étage choisi par la ième personne. On considère que les $e_i$ suivent une loi uniforme entre $n_1 $ et $n_2 $, et qu'en plus ils sont indépendant et identiquement distribués.

Comment calculer : $\displaystyle{\mathbb{P}(\min_{i \in [n_1 ; n_2]} (e_i)= a)}$ ?

Avant tout, posons : $N=1+n_2-n_1$ le nombre d'étages desservit par l'ascenseur.
On a : $\mathbb{P}(e_i= a)=\frac{1}{N}$

Pour le cas : $\displaystyle{\mathbb{P}(\min_{i \in [n_1 ; n_2]} (e_i)= n_2)=\mathbb{P}^k(e_i= n_2)}$. En effet, pour que le dernier étage soit le minimum choisit, il faut que tous les utilisateurs aient choisit $n_2$. En utilisant que les $e_i$ sont i.i.d on trouve le résultat.

Pour les autres cas, j'ai eu le même genre de réfléxion mais ça ne conduit à rien (enfin je trouve).
Voilà mon raisonnement :
Pour que l'ascenseur s'arrete au a-ième étage, il faut que tous les usagers aient choisit un étage supérieur où égale à a.
Supposons que ce soit le premier individu qui choisisse l'étage a, ceci implique que les k-1 autres doivent choisir entre $[a, n_2]$.

Et là... je sèche.

alekk · October 2009

Comme tu dis, pour que $\min(e_i) = a$, il faut que tout le monde ait choisi un étage supérieur à $a$, ce qui équivaut à dire :
\[ P[\min(e_i) = a] = \Big(\dfrac{n_2-a+1}{N}\Big)^k\]
car $P[ e_i \geq a] = \dfrac{n_2-a+1}{N}$

Richard André-Jeannin · October 2009

Si tout le monde choisit un étage >=a, on a min(e_i)>=a mais pas min(e_i)=a

Evariste Galois · October 2009

Merci pour vos réponses.

Richard André-Jeanin a écrit:

Si tout le monde choisit un étage >=a, on a min(ei)>=a mais pas min(ei)=a

Je me suis mal exprimé. Mais c'est pour palier ce cas que j'en choisis un qui va à l'étage a, et que les autres choisissent un étage >= a.

Alekk,
Si j'utilise ta formule (j'étais tombé dessus et je l'avais invalidée), pour l'étage $n_1$ on a :
\[ P[\min(e_i) = n_1] = \Big(\dfrac{n_2-n_1+1}{N}\Big)^k=1^k\]

Et ceci me paraisait étonnant, et faux. Car la somme des proba devant faire 1, il faudrait que : \[ P[\min(e_i) = n_1] + P[\min(e_i) = n_1+1]+ \cdots +P[\min(e_i) = n_2]=1 \] or $P[\min(e_i) = n_2]=\epsilon>0$ et $P[\min(e_i) = n_1]=1$ d'où la somme des proba est strictement supérieure à1.

Richard André-Jeannin · October 2009

Posons X = min(e_i)
(X>n₁) est réalisé si tous les e_i>n₁.
On a P(e_i>n₁)=(N-1)/N
Donc P(X=n₁)=1-P(X>n₁)=1-((N-1)/N)^k.

alekk · October 2009

of course. Je pense que tu as deja corrige l'erreur par toi meme: voici la bonne version
***
Comme tu dis, pour que $\min(e_i) \geq a$, il faut que tout le monde ait choisi un étage supérieur à $a$, ce qui équivaut à dire :
\[ P[\min(e_i) \geq a] = \Big(\dfrac{n_2-a+1}{N}\Big)^k\]
car $P[ e_i \geq a] = \dfrac{n_2-a+1}{N}$

Donc au final, pour $a \leq n_2-1$:
\[ P[\min(e_i) = a]= P[\min(e_i) \geq a] - P[\min(e_i) \geq (a+1)]= \Big(\dfrac{n_2-a+1}{N}\Big)^k - \Big(\dfrac{n_2-a}{N}\Big)^k\]
***

Ainsi par exemple: $P[\min e_i = n_1] = 1 - (1-\frac{1}{N})^k$
On voit par exemple que si $k$ est tres grand par rapport a $N$, cela equivaut a $1-\exp(-\frac{k}{N})$, qui tend vers $1$. Par contre, si $N$ est tres grand par rapport a $k$, cela equivaut a $\frac{k}{N}$, qui est tres petit.

Evariste Galois · October 2009

Désolé d'avoir avoir pris un peu de votre temps. J'aurai pu y penser au coup du $ \mathbb{P}\big[ \min_{i \in [n_1 ; n_2] }e_i)=a\big]=\mathbb{P}\big[ \min_{i \in [n_1 ; n_2] }e_i) \geq a\big]-\mathbb{P}\big[ \min_{i \in [n_1 ; n_2] }e_i)>a\big]$.

Je n'ai pas eu l'idée de faire comme ça...

Merci pour votre participation Alekk et Richard!

Formalisation d'une probabilité

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion