Choimet et Queffélec

zephir · October 2009

Bonjour à tous.

Je viens d'acquérir le très joli livre de Choimet et Queffelec, de couleur grenat. Au premier coup d'oeil, cette couleur surprend, et puis on est petit à petit sous le charme.

Le titre "Grands théorèmes du vingtième siècle" n'est pas "Les Grands théorèmes du vingtième siècle" : distinction évidemment subtile.

C'est un travail à la fois propre et considérable. Bravo aux auteurs.

Avant de m'empresser de partager avec vous mes premières impressions, je vous propose de commencer par ce bel exercice, le premier du chapitre 1....
qui amuserait plus d'un prof de sup et pourquoi pas ses élèves.

Soit $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes. On pose $\displaystyle M=\sup\Big|\sum_{k=1}^n\varepsilon_kz_k\Big|,$
la borne supérieure étant étendue à toutes les suites finies $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)$ appartenant à $\{-1,1\}^n$. Montrer que :
$$\sum_{k=1}^n|(z_k)|\geq M \geq\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n|z_k|.$$
[rectification :$ |(z_k)|$]
[La case LaTeX.

AD]
Merci AD.

myrtille0 · October 2009

pour n=1 la première inégalité est fausse.

jpdx · October 2009

Si les parties réelles des $z_k$ sont nulles, c'est trivialement faux.

myrtille0 · October 2009

Il y a une erreur dans ton énoncé zephyr

je pense que c'est plutôt
$$\sum |Re(z_k)|\leq M$$
qu'il faut écrire.

Et alors cela a l'air bien amusant en effet.

zephir · October 2009

Oui en effet Myrtille,
à vouloir compresser l'énoncé, on fait des erreurs qu'on corrige rapidement et mal.
J'ai commencé par écrire :
$\displaystyle \sum \vert Re(z_k)\vert\leq M \geq\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\vert z_k\vert.$
J'ai trouvé que les deux inégalités en sens contraire était inesthétique, donc que la relation n'était pas correcte !!! J'ai donc retourné la première inégalité, ce qui a donné :
$\displaystyle \sum \vert Re(z_k)\vert\geq M \geq\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\vert z_k\vert.$
La première inégalité est manifestement fausse. J'ai donc encore corrigé en supprimant le "Re", ce qui est juste, mais la première inégalité devient une presque évidence.

Finalement la relation à démontrer est bien la première ci-dessus. Bien qu'inesthétique, elle est correcte.
Je présente mes plus plates excuses aux auteurs et conclut :
- A trop réfléchir, on dit des conneries.
- A peu réfléchir, on en dit aussi.

J'aurai du recopier purement et simplement l'exo sans essayer de le compresser.

[Tu devrais plutôt écrire comme ça. AD]
$\displaystyle \sum \vert Re(z_k)\vert\leq M$ et
$\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\vert z_k\vert \leq M.$

PiedNoir · October 2009

bonsoir, amicalement,

qui amuserait plus d'un prof de sup et pourquoi pas ses élèves a écrit:

si "plus d'un professeur de sup" est au sens strict ça veut dire qu'il y en a au moins deux, et à ce moment il faut dire " leurs élèves".

Tout ça ne nous dit pas comment on fait ! (td)

C. de Pluquaire · October 2009

Bonsoir,
@ zephyr: j'imagine que "couleur grenat" veut dire "couleur rouge grenat", parce qu'il existe des grenats d'à peu près toutes les couleurs, en particuliers des verts.
Tu n'es pas encore sorti de l'auberge, pour ce compte-rendu de livre! (:P)
Je m'aperçois qu'il n'y a pas de maths dans mon post, mais pour la couleur des grenats, tu peux demander à S. Smale. Et voilà pour les maths.
Bien cordialement.

zephir · October 2009

Une indication : choisir des $\epsilon_k$ de telle sorte que $\Re(\epsilon_k z_k) =\vert \Re(z_k) \vert$. Recommencer avec $\Im$ au lieu de $\Re$. Ensuite agiter les sommes.

gilles benson · October 2009

à noter que ce bouquin contient un exposé du théorème de la couronne (donc accessible en français); le bouquin est d'un style agréable et les sujets développés intéressants; un truc seulement: les auteurs semblent abuser du point d'exclamation dans des situations où la confusion avec la factorielle est possible...En tout cas, un livre d'exemples est une chose qui rompt avec la tradition d'exposés purs et durs genre Bourbaki dans la littérature mathématique francophone; c'est à ranger (quand ce n'est pas ouvert...) à côté de la série des Godement.

jpdx · October 2009

zephir a écrit:

Une indication : choisir des $ \epsilon_k$ de telle sorte que $ \vert \Re(\epsilon_k z_k) \vert=\vert \Re(z_k)\vert$.

C'est toujours vrai !

zephir · October 2009

Bonjour jpdx,
La quantité $\Big\vert\sum_{k=1}^n\varepsilon_kz_k\Big\vert,$ change quand on modifie les $\varepsilon_k$

dSPautaf · October 2009

En voilà un bel exo.

Cela revient à prouver qu'étant donné des réels
$a_1,...,a_n$ tous positifs et des réels $\theta_1,...,\theta_n$,
la fonction $t \mapsto \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k |\cos(t-\theta_k)|$
a un maximum supérieur ou égal à $\frac{1}{2}\,\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k$.
Or ce dernier nombre est la moyenne de la fonction sur une période...

dSPautaf · October 2009

"On" me signale que la moyenne de la valeur absolue du cosinus
sur une période n'est pas $\frac{1}{2}$ (j'ai bien sûr confondu avec le carré) mais
$\frac{2}{\pi}$, ce qui est encore mieux. On peut donc améliorer
l'inégalité demandée en
$\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} |z_k| \leq \frac{\pi}{2}\,M$.

zephir · October 2009

Bonsoir dSPautaf.

dSPautaf a écrit:

Cela revient à prouver qu'étant donné des réels
$ a_1,...,a_n$ tous positifs et des réels $ \theta_1,...,\theta_n$,
la fonction $ t \mapsto \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k \vert\cos(t-\theta_k)\vert ...$

J'ai du mal à trouver pourquoi "cela revient à ...". Peux-tu expliquer ? merci d'avance.

dSP · October 2009

J'écris sous forme trigonométrique $z_k=a_k\,e^{i\theta_k}$ pour tout $k \in \{1,\dots,n\}$.
Alors
\begin{align*}
M& =\underset{\varepsilon \in \{-1,1\}^n}{\sup}\underset{y \in \mathbb{U}}{\sup}\,\text{Re}\Bigl(\overline{y}
\,\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\varepsilon_k z_k\Bigr) \\
& = \underset{\theta \in \R}{\sup}\,\underset{\epsilon \in \{-1,1\}^n}{\sup}\,
\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} \epsilon_k a_k\cos(\theta-\theta_k) \\
& = \underset{\theta \in \R}{\sup}\;\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} a_k\,\big|\cos(\theta-a_k)\big|
\end{align*}

Et le tour est joué...

Au passage, la borne de $\frac{\pi}{2}$ est la meilleure constante si on veut une inégalité valable pour tout
entier $n$. A $n$ fixé, c'est en revanche une autre paire de manche, même si intuitivement on
devrait obtenir la meilleure constante avec un polygone régulier...

Choimet et Queffélec

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