anneau non noethérien et produit d'irréductibles

GreginGre
GreginGre
dans Algèbre
Bonjour,

Pouf pouf !! Dans la famille des contre-exemples, je voudrais un anneau $A$ si possible intègre, possédant des éléments irréductibles (sinon c'est pas drôle), et tel qu'il existe un élément $a \in A$ qui ne s'écrit pas comme produit d'un inversible et d'irréductibles. Il faut bien sur taper dans le non noethérien.

J'ai pensé à $A=\mathbb{C}[X_0,X_1,\ldots]/(X_{2i-2}-X_{2i}X_{2i+2},\ i \geq 1)$, et il me semble que $a=\overline{X}_0$ convient (par contre, je ne suis pas sur que $A$ soit intègre), mais je crois me souvenir qu'il y a beaucoup moins tordu. J'ai une vague réminiscence d'un contre-exemple avec des puissances divisées ?

Si quelqu'un a un contre-exemple simple sous la main.

Réponses

  • Gna
    Gna
    Peut-être que l'on peut considérer l'anneau des fonctions holomorphes sur un ouvert donné de $\C$. C'est un anneau intègre (prolongement analytique) dont les éléments irréductibles sont les monômes (il me semble).

    Cependant le cosinus n'est pas un polynôme.
  • Gna
    Gna
    Euh évidemment je suppose que l'ouvert est connexe...

    De plus par monômes j'entends "polynôme de degré 1".
  • tintin1
    tintin1
    Exactement Gna il suffit de prendre $Hol(\mathbb{C})$ et de considérer $f(z)=e^z -1$ (infinité de zéros).
  • GreginGre
    GreginGre
    Super! Merci beaucoup!

    Est-ce difficile de montrer que les polynômes de degré 1 sont les seuls irréductibles?
  • Gna
    Gna
    On montre d'abord que les éléments inversibles sont les fonctions holomorphes qui ne s'annulent pas sur l'ouvert.

    Ensuite il est clair que pour tout $z_0\in \C$ la fonction $z-z_0$ est irréductible (elle n'est pas inversible puisqu'elle s'annule et en raisonnant sur la multiplicité en $z_0$ cela découle).

    Enfin si on considère une fonction holomorphe irréductible $f$, elle n'est pas inversible et donc elle s'annule en un $z_0$. En particulier $z-z_0$ divise $f$.

    Mais $z-z_0$ est aussi irréductible donc $f$ est égal à $z-z_0$ modulo un inversible.

    Gna
  • Gna
    Gna
    Excusez moi, il s'agit de $z_0$ dans l'ouvert et non $z_0\in \C$. Si quelqu'un pouvait corriger...

    Gna
  • GreginGre
    GreginGre
    D'ac..et peut-on voir la non noethérianité directement en exhibant un idéal non finiment engendré ou une chaîne infinie?
  • Gna
    Gna
    Oui, en considérant par exemple l'idéal engendré par les $f_n$, où $f_n:z\mapsto \frac{sin(\pi z)}{z(z-1)..(z-n)}$.

    Cordialement,
    Gna
  • GreginGre
    GreginGre
    merci beaucoup à vous deux.

    Oserai-je demander un autre contre-exemple: un anneau noethérien, {\bf non intègre}, possédant des irréductibles, et avec un élément ne possédant pas de factorisation en irréductibles???
  • Gna
    Gna
    Je vais y réfléchir un peu mais à priori je n'ai aucune idée...

    Disons que l'intégrité permet de pouvoir parer de divisibilité. Alors sans divisibilité, comment parler d'élément irréductible?

    Gna
  • GreginGre
    GreginGre
    Je ne vois pas pourquoi l'intégrité est indispensable pour parler de divisibilité.

    On dit que $b\mid a$ si $(a)\subset (b)$.

    Bon, pour définir un élément irréductible, on a le choix d'intégrer les diviseurs de zéro ou pas. De même pour l'association, on peut soit prendre $a\mid b$ et $b\mid a$, soit prendre $b=au,u\in A^\times$, ce qui n'est pas la même chose.

    Donc c'est vrai que les problèmes arrivent au grand galop quand même :D
  • Gna
    Gna
    Honnêtement je ne saurai quoi répondre :D... Désolé mais ca dépasse mes compétences désormais (je suis pas assez vieux pour m'intéresser à ca !)

    Gna
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