Valeurs propres de produit de matrices

Evariste Galois
Evariste Galois
dans Algèbre
Bonjour à tous,

Depuis quelques jours je réfléchis un petit problème dont je n'arrive pas a trouver ne serait ce qu'un début de réponse ou de cheminement vers la réponse.

Le problème est le suivant:
J'ai une matrice $M =[m_{i,j}] \in \R^{N \times N}$ dont je connais toutes les valeurs propres. Considérons la matrice diagonale $ \Gamma = diag([\gamma_{i}]) \in \R^{N \times N}$.
Posons $\Displaymathstyle{ \hat M = M \Gamma}$.

Peut on trouver les valeurs propres de $\hat M$ en connaissant celles de M?

Pour le cas trivial : $ \Gamma = Id_N $ la réponse est évidente, mais pour tous les autres cas... je ne vois pas comment m'y prendre. J'ai voulu regarder avec un exemple dans $\R^{2 \times 2}$ mais ça n'a rien donné de concluant ( à part beaucoup de calculs inutiles).

Avez vous quelques idées sur la quetion?

Réponses

  • remarque
    remarque
    Si ta question est « existe-t-il une fonction des valeurs propres de $M$ et de $\Gamma$ qui donne les valeurs propres de $\hat M$ ? », la réponse est non. Tu peux considérer la famille de matrices
    $$\begin{pmatrix}\sin^2\alpha&-\sin\alpha\cos\alpha\\-\sin\alpha\cos\alpha&\cos^2\alpha\end{pmatrix}$$
    avec $\alpha\in\R$ pour voir que ce n'est pas possible.
  • Evariste Galois
    Evariste Galois
    Je remarque grâce à ton exemple que si $M \in \R^{n \times n}$ est singulière alors $M \Gamma$ l'est aussi, ce qui à défaut de trouver une fonction pour toutes les valeurs propres donne au moins une bonne information.

    Démonstration de la remarque :
    $M$ est singulière si $\det(M)=0$.
    Notons $M_i$ le $i$-ème vecteur colonne de $M$.
    $M \Gamma= \begin{pmatrix} \gamma_1 M_1 & \cdots & \gamma_i M_i & \cdots & \gamma_n M_n \end{pmatrix}$ D'où $\displaymath{\det(M \Gamma)= (\prod_{i=1}^{n} \gamma_i) \det(M)}$ et comme $\det(M)=0$ alors $\det(M \Gamma)= (\prod_{i=1}^{n} \gamma_i) \times 0 =0 $.

    Mais alors on peut se poser la question suivante : existe-t-il une famille de matrice $M$ qui permette de trouver les valeurs propres de $M \Gamma$ ?

    En tout cas merci pour ta réponse.
  • remarque
    remarque
    Je ne comprends pas ta nouvelle question, mais le fait que $M\Gamma$ soit singulière si $M$ l'est découle directement de la multiplicativité du déterminant, ou bien de la considération de l'image de $M\Gamma$.
  • Evariste Galois
    Evariste Galois
    En fait ma question c'est :
    "Existe-t-il une forme de matrice (que je peux construire par récurrence par exemple), qui me permette d'avoir une relation entre les différentes valeurs propres ?"
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