Estimation de E(|X-Y|) avec des lois binomiales

Bonjour,

J'ai à résoudre un problème de probabilités mais je doute de mon résultat.
Voici le problème : Je joue à Pile ou Face, je fais $N$ lancés. Si je note $X$ le nombre de Pile obtenus, et $Y$ le nombre de Face obtenues. Quel est alors la valeur de $ \mathbb{E}( |X-Y|) $?.

Ma réponse était celle-ci :
$X \sim B(N,p)$ et $Y+X=N$.
$ \mathbb{E}( |X-Y|) = \mathbb{E}( (X-Y) 1_{X-Y>0}) + \mathbb{E}( (Y-X) 1_{X-Y\leq 0})$
j'utilise $Y+X=N$, dans mon équation et j'obtiens :
$ \mathbb{E}( |X-Y|) = \mathbb{E}( (2X-N) 1_{2X-N>0}) + \mathbb{E}( (N-2X) 1_{2X-N \leq 0})$
Par linéarité de l'intégrale je décompose toutes les intégrales :
$ \mathbb{E}( |X-Y|) = 2 \mathbb{E} ( X 1_{2X-N>0} ) - 2 \mathbb{E}( X 1_{2X-N \leq 0} ) -N \mathbb{E} ( 1_{2X-N>0} ) +N \mathbb{E}( 1_{2X-N \leq 0} ) $

Enfin, j'utilise la relation suivante :soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un espace de probabilité. Si $\mathbb{E}(X)$ existe, alors on peut écrire $ \mathbb{E} (X) = \mathbb{E} (X 1_A) + \mathbb{E} (X 1_{A^c})$ avec $\forall A \in \mathcal{A}$, et $A^c$ le complémentaire de A dans $\Omega$

D'où $\mathbb{E}( X 1_{2X-N > 0} )= \mathbb{E}(X)-\mathbb{E}( X 1_{2X-N \leq 0} )$
On sait également que $\mathbb{E}( 1_{A} )=\mathbb{P}(A)$.

La relation devient :
$ \mathbb{E}( |X-Y|) = 2 (\mathbb{E} ( X 1_{2X-N>0} ) -\mathbb{E} ( X)+\mathbb{E} ( X 1_{2X-N>0} ))+ N(\mathbb{P}(2X-N \leq 0)- \mathbb{P}(2X-N>0)) $
$ \mathbb{E}( |X-Y|) = 4 \mathbb{E} ( X 1_{2X-N>0} ) -2 \mathbb{E} ( X)+ N(1-2 \mathbb{P}(2X-N>0)) $
Or $\mathbb{E} ( X)= Np$, on obtient :
$ \mathbb{E}( |X-Y|) = 4 \mathbb{E} ( X 1_{2X-N>0} ) + N(1-2 \mathbb{P}(2X-N>0)-2p) $

Arrivé a ce niveau j'ai l'impression que c'est faux. Si je prend que $p=0.5$, alors $\mathbb{P}(2X-N>0)=0.5$ ce qui me donne que $ \mathbb{E}( |X-Y|) = 4 \mathbb{E} ( X 1_{2X-N>0} ) - N $, et j'ai du mal à voir pourquoi $\mathbb{E} ( X 1_{2X-N>0} ) >\frac{N}{4}$

Donc est ce que mon raisonnement est correct? et si non, où ai je faux et pourquoi? :-(