Principe de récurrence

Oui, c'est indispensable !
En effet si vous regardez la preuve, elle utilise l'hypothèse de récurrence en dimension $n-1$.

Rachel23 écrivait:

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> Je me corrige;j'ai dit "simplement égal à 1" je
> voulais dire "simplement égal à n-1"

Oui (l'orthogonal d'une droite vectorielle est un hyperplan auquel on applique l'HR).

Il suffit de supposer que la proposition est vraie en dimension $n-1$ (sachant qu'elle est vraie en dimension $1$.)

Je me permets de donner un exemple de récurrence complète.
On définit la suite de Fibonnaci par $x_0=0$, $x_1=1$ et $x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2}$. On veut montrer par récurrence que $x_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^n-(-\varphi)^n\right)$ avec $\varphi$ le nombre d'or.

La démonstration se présente ainsi:
- L'hypothèse est vraie pour $n=1$ et $n=2$
- Supposons l'hypothèse vraie pour $i\leq n-1$ alors
$x_n=x_{n-1}+x_{n-2} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^{n-1}-(-\varphi)^{n-1}\right) + \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^{n-2}-(-\varphi)^{n-2}\right)$
Après calcul, l'hypothèse est vraie pour $n$.

Et là, tu vois bien que tu as besoin de $\leq n-1$ et pas seulement $=n-1$.

Si tu veux utiliser la récurrence simple, il suffit de définir l'assertion $E_n = \left\{\forall k\neq n, x_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^n-(-\varphi)^n\right)\right\}$.

Pour démontrer $E_{n+1}$ tu ne te sers alors que de $E_n$.

La troisième hypothèse est que le professeur a dû être distrait ! ...et que vous pouvez rectifier...