Implémenter fonction de répartition loi normale

Evariste Galois · June 2009

Bonjour à tous,

J'aimerai pouvoir développer un moyen rapide d'estimation de la fonction de répartition pour la loi normale centrée réduite sur un langage qui n'a pas de table.

J'ai pensé faire ceci :
Au début je simule $X=\left( x_1, \dots , x_N \right)$ N éléments suivant une loi normale centrée réduite. Or si $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ alors $Y=-X \sim \mathcal{N}(0,1)$ donc ça me fait le double de précision avec autant de points.
Ensuite pour avoir $ \mathbb{P}(X < t)$ il me suffit de faire la somme suivante : $ \frac{1}{2N}\sum_{i=1}^N(1_{x_i<t} +1_{-x_i<t})$ (avec 1 une fonction indicatrice).

Seulement ça me semble gourmand en temps et peu précis (on peut calculer les intervalles de confiances).
Auriez vous une idée plus subtile ?

Je m'interesse à cette question puisque j'aimerai par la suite pouvoir faire la même chose avec une loi Log Normale, Gamma, et ensuite avec n'inporte quelle loi.

Merci beaucoup pour vos réponses,

Lucas · June 2009

A ma connaissance, la seule méthode raisonnable est d'approcher l'intégrale par une méthode numérique type trapèze.

Par ailleurs, comment tu simules tes gaussiennes?

GERARD à la maison · June 2009

Bonjour,

Saporta, dans "Probabilités, analyse des données et Statistiques" donne une fonction d'approximation à 10^-7 de la fonction (pour les valeurs positives.
Si tu ne peux trouver (ou acheter, c'est un bon investissement !) le Saporta, tu dois pouvoir trouver une référence.

Cordialement

Evariste Galois · June 2009

Bonsoir merci pour vos réponses.

A vous lire j'ai l'impression que c'est un peu loufoque comme démarche.:S

Lucas a écrit:

Par ailleurs, comment tu simules tes gaussiennes?

Je le fais de façon assez simplette puisque j'utilise la relation suivant :
Soit $X$ et $Y$ deux Variables Aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0;1]$ alors
$T_{2}=\sqrt{-2\ln U_{1}}\, \sin (2\pi U_{2})$ et $T_{1}=\sqrt{-2\ln U_{1}}\, \cos (2\pi U_{2})$ suivent des lois Normales centrées réduites.
Je ne sais pas si c'est très efficace... mais surtout c'est la seule que je connaisse.

Gerard a écrit:

Saporta, dans "Probabilités, analyse des données et Statistiques" donne une fonction d'approximation à 10-7 de la fonction (pour les valeurs positives.
Si tu ne peux trouver (ou acheter, c'est un bon investissement !) le Saporta, tu dois pouvoir trouver une référence.

Justement je cherchais dernièrement un bon bouquin de Stat... Merci pour l'information.

Steven Neutral · June 2009

C'est clair qu'avec des simulations tu ne pourras pas obtenir des résultats à 10^{-7} près....

Jette donc un oeil à l'excellent Handbook of Statistical Distributions de Christian Walck, tu y trouveras peut-être des infos.

Kuja · June 2009

Bonjour,

Il y a toujours le classique Abramowitz and Stegun disponible gratuitement sur le web, avec les approximations classiques : Abramowitz & Stegun

GERARD · June 2009

Bonjour,

La formule du Saporta est la 26.2.17 de Abramowitz & Stegun, (Z(x) est la fonction de répartition). Merci Kuja.

Cordialement

Evariste Galois · June 2009

bonsoir,
Merci pour ces docs. A propos des formules d'Abramowitz & Stegun, je dois avouer ne pas avoir tout tout compris.

La relation 26.2.17 : $P(x)=1-Z(x)\left( b_1 t +b_2 t^2 +b_3 t^3+b_4 t^4+b_5 t^5 \right)+o(x^5) $ avec $t=\frac{1}{1+px}$.
Au risque de paraitre simplet : Qu'est ce que P? une probabilité? ou juste un polynôme d'approximation? Comment ça fonctionne? Comment ont été obtenues les valeurs de $b_i$ et $p$?

Je vous remercie d'avance,

GERARD à la maison · June 2009

Bonsoir.

Je vois que j'ai fait une erreur d'écriture
P(x) est la fonction que tu cherches : la fonction de répartition de la loi Normale centré réduite. Z(x) est sa densité (c'est ce que je voulais écrire).

Cordialement

Evariste Galois · July 2009

bonjour à tous,

J'ai fait quelques tests avec la relation 26.2.17 : $P(x)=1-Z(x)\left( b_1 t +b_2 t^2 +b_3 t^3+b_4 t^4+b_5 t^5 \right)+o(x^5) $ avec $t=\frac{1}{1+px}$. et j'ai remarqué que l'approximation était faite pour des $x \geq 0$. Est-ce moi qui me suis trompé lors de mes tests ou est ce bien préconisé?

De plus par curiosité, comment sont calculés les coefficients $b_i$ et $p$? et comment en est on arrivé a cette formule?

GERARD · July 2009

Oui,

c'est bien pour x positif (je le disais dans mon premier message). D'ailleurs, on n'a besoin de connaître les valeurs que pour x >0 puisque la fonction densité est paire.

Cordialement

Implémenter fonction de répartition loi normale

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