intervalle de confiance

Bonjour.

Questions habituelles :

Qu'as-tu fait ? Où bloques-tu ?

Question subsidiaire : A quel niveau es-tu : deuxième année de quoi? de master ? de licence ?

Cordialement

Effectivement,

tu es sur la bonne voie, en notant que la moyenne empirique est un estimateur de $\frac{\theta}{2}$. L'intervalle de confiance à $95\%$ sur la moyenne d'une variable Normale est un classique, et permet de donner le résultat de la question 4 (Là, je te renvoie au cours pour la façon de faire, car les deux hypothèses sont composites - La forme de réponse donnée semble dire qu'on doit prendre un test unilatéral de "théta = 10").
La question 5 est une évidence : Il y a des valeurs supérieures à 10, donc theta > 10. On est même sûr que théta vaut au moins 15 (On ne tire que des valeurs inférieures à théta !). J'aimerais être sûr que l'auteur n'a pas pensé être en train d'appliquer les résultats de la question précédente (inapplicables dans ce cas, car l'approximation Normale est malsaine pour aussi peu de valeurs.

Cordialement.

Despo,

je ne comprends pas ton calcul d'intervalle de confiance, en particulier ce que peut bien être ce a dans la formule. par contre, tu soulèves un vrai problème, qui est que l'écart type dépend, comme la moyenne, de théta. Une méthode très classique est de prendre comme valeur l'écart type empirique s, et d'utiliser l'outil loi de Student. Pour n très grand, on retrouve les coefficients de la loi Normale (1,96 pour un intervalle bilatéral à 95%).

Cordialement

NB : peux-tu me donner les valeurs que tu as trouvées pour la moyenne et l'écart type de X1 ? et pour la moyenne et l'écart type de l'estimateur de thêta (= 2 fois la moyenne de l'échantillon).

Donc ton intervalle de confiance est faux.
De plus, a est connu.

Cordialement

NB: j'ai peu de temps aujourd'hui.

J'espère ne pas arriver trop tard dans la bataille.

Asymptotiquement normal signifie que si $\displaymath{X_n=\sum_{i=1}^{n} x_i}$ un estimateur de la moyenne $\mu$ et $\hat \sigma$ un estimateur de ta variance alors $ \displaymath{Z= \frac{X_n-\mu}{\hat \sigma}\sqrt{n} \sim \mathcal{N}(0,1)}$
De la tu en déduis rapidement que $\displaymath{\mathbb{P} \left( Z \in [ -\alpha_{p/2};\alpha_{p/2}]\right)=p}$ est un intervalle de confiance (de la moyenne de Z) pour ta loi Z, ou encore $\displaymath{\mathbb{P} \left( \frac{X_n-\mu}{\hat \sigma}\sqrt{n} \in [ -\alpha_{p/2};\alpha_{p/2}]\right)=p}$, soit encore $\displaymath{\mathbb{P} \left( \mu \in [X_n-\alpha_{p/2} \frac{\hat\sigma}{\sqrt{n}};X_n+\alpha_{p/2} \frac{\hat\sigma}{\sqrt{n}} ]\right)=p}$.

Comme tu cherches $\theta$, il faut que tu remarques que : $\displaymath{X_n=\sum_{i=1}^{n} x_i}$ est un estimateur de $ \frac{\theta}{2}$ donc un intervalle de confiance pour $\theta$ serait $ \theta\in [2(X_n-\alpha_{p/2}\frac{\hat\sigma}{\sqrt{n}});2(X_n+\alpha_{p/2}\frac{\hat\sigma}{\sqrt{n}}) ]$ (enfin c'est comme ça que je ferais... intuitivement)

Et là je serai bien tenté de dire qu'en fait avec $\displaymath{X_n=\sum_{i=1}^{n} x_i}$ tu connais aussi ton ecart type... (seulement ça me gène un peu). Tu as que $2 X_n = \theta = 2 \sigma \sqrt{3} $ d'où $ \sigma = \frac{X_n}{\sqrt{3}} $ et ton intervalle de confiance serait finalement de : $ \theta\in [2X_n (1-\frac{\alpha_{p/2}}{\sqrt{3n}});2X_n(1+\frac{\alpha_{p/2}}{\sqrt{3n}})) ]$.

Mon resultat est à verifier car je n'ai pas démontré que $\frac{X_n}{ \sqrt{3}} $ était un estimateur sans biais de l'écart type.

Pour la question 4, je serai tenté de dire que c'est à peu de chose près identique.

Effectivement j'ai bien fait une faute de frappe en omettant la division par n.:)

Tout à fait d'accord.

Ou alors, il faudrait un symbole pour marquer l'appartenance future, quand on fera le tirage.
Par contre, ça ne règle pas les erreurs d'interprétation après le tirage de l'échantillon, du genre "il y a 95% de chance que la vraie moyenne soit (est) entre 19,8 et 20,2"

Cordialement

Bonjour Evariste.

Les statisticiens disent : "la moyenne est dans l'intervalle xx avec une confiance de 95%" ce qui signifie "La probabilité que le tirage au hasard donne un intervalle contenant la moyenne est 95% et le tirage a donné l'intervalle xx".
Personnellement, je trouve que la notion de "confiance" est assez saine, d'autant plus que le mot "probabilité" est souvent mis à toutes les sauces ("vraie" probabilité, modèle probabiliste, évaluation intuitive d'une mesure de vraisemblance, mesure de confiance dans le résultat, etc.)

Cordialement.

NB : Je ne crains pas de parler de "vraie moyenne", car il y en a deux en cause : Celle de la population dans laquelle on échantillonne, et celle de l'échantillon, estimation de la première.