Amélioration d'un intervalle de confiance ...

Merci pour vos réponses.

Steven Neutral a écrit:

Quand on parle d'améliorer quelque chose c'est qu'on a une façon de mesurer la performance de ce
quelque chose, ou au moins de la comparer.

Ce que je voulais dire par amélioration, trouver un intervalle plus fin, sans augmenter la probabilité de défaillance.
Exemple : $ IC^1_{95\%}=[x^1_1 ; x^1_2] $ et $ IC^2_{95\%}=[x^2_1 ; x^2_2] $, on pourra dire que $ IC^1_{95\%} $ est plus performant que $ IC^2_{95\%} $, si $ \delta([x^1_1 ; x^1_2] ) < \delta([x^2_1 ; x^2_2] ) $ avec $ \delta(a,b) = distance$ entre $a$ et $b$

Gerard a écrit:

C'est bizarre, tu utilises un intervalle de confiance basé sur une loi Normale. Donc le coefficient d'asymétrie est nul. A moins que ta loi ne soit pas Normale, mais alors l'intervalle de confiance fait déjà usage de la forme de la loi. Ou pas.

Effectivement comme tu viens de le dire, j'utilise sans m'en rendre compte l'intervalle de confiance pour une loi normale...

Juste une question supplémentaire. En te lisant je viens de m'apercevoir que je suis bien incapable de donner un Intervalle de confiance pour une loi autre que normale. Par exemple pour une loi Exponentielle.

Je procède comme ceci :

Soit $X$ qui suit une loi Exponentielle de paramètre $ \lambda >0$. On a $ E[X] = \frac{1}{\lambda} $ et $Var[X] = \frac{1}{\lambda^2} $ , $\sigma = \sqrt{Var[X]} $
On cherche $k_1$ et $k_2$ tels que $(1)$ : $ \mathbb{P}( x \in [ \frac{1}{\lambda} - k_1 \sigma ; \frac{1}{\lambda} + k_2 \sigma ]) = p^$

En arrangeant un peu je tombe sur :
$(1) \Leftrightarrow \mathbb{P}( x \in [ \frac{1}{\lambda} - k_1 \frac{1}{\lambda} ; \frac{1}{\lambda} + k_2 \frac{1}{\lambda} ]) = p$
$(1) \Leftrightarrow \mathbb{P}( \lambda} x \in [1 - k_1 ; 1+ k_2] ) = p$

Et une fois là, je ne vois pas du tout quoi faire, sauf dire qu'il me faut la même proba à droite de ma moyenne qu'à gauche.

Merci beaucoup pour ta réponse Gérard. Effectivement, j'ai été formaté par mon apprentissage, mais je tente de m'en sortir.

Je me permets d'insister toujours sur ce sujet d'intervalle de confiance pour une loi exponentielle (je ne sais pas si je dois faire un autre sujet ou non), car j'ai un affreux problème d'interprétation de mon résultat. Ne sachant si je dois mettre toutes les étapes de mon calcul, je ne vais mettre que les résultats globaux.

Je note mon intervalle de confiance comme ceci : $IC_p = [B_{\inf} ;B_{\sup} ]$, et je veux obtenir : $$ \mathbb{P} \left( x \in [B_{\inf} ;B_{\sup}]\right) = p $$
J'ai choisi d'avoir autant de probabilité de défaillance entre $ [ 0; B_{\inf} ] $ qu'entre $ [ B_{\sup} ; + \infty ] $, donc $ \mathbb{P} \left( x \in [ 0; B_{\inf} ] \right) = \frac{1-p}{2} $ et $ \mathbb{P} \left( x \in [ B_{\sup} ; + \infty ] \right) = \frac{1-p}{2} $.
La forme des bornes est la suivante : $ B_{\inf}= \mu - k_1 \sigma $ et $ B_{\sup} = \mu + k_2 \sigma $
Or pour une loi exponentielle $ \mu$ et $\sigma$ sont égales à $\frac{1}{\lambda}$. Il s'en suit que $ B_{\inf}= \frac{1}{\lambda}(1- k_1)$ et $ B_{\sup} = \frac{1}{\lambda}(1+ k_2 ) $

J'obtiens que $k_1= \ln( e \cdot \frac{1+p}{2}) $ et $k_2= \ln( \frac{1}{e} \cdot \frac{2}{1-p})$, ou encore : $ B_{\inf}= \frac{1}{\lambda}(-\ln(\frac{1+p}{2}) )$ et $ B_{\sup} = \frac{1}{\lambda}( \ln( \frac{2}{1-p}) ) $

J'ai vérifié que $ \mathbb{P} \left( x \in [B_{\inf} ;B_{\sup}]\right) = p $, et j'ai voulu éprouver mon résultat à mon intuition. Cette dernière était la suivante si je ne veux pas prendre de risque (donc p=1) alors je dois prendre comme Intervalle de Confiance $\R ^{+}$ et inversement si je veux prendre 100\% de risque (donc $p=0$) alors mon $IC$ sera réduit au point $ \frac{1}{\lambda}$
Pour la vérifié j'ai fait un passage à la limite sur $B_{\inf}$ et $B_{\sup}$
$\lim\limits_{p \to 1^-}B_{\inf}(p) = \lim\limits_{p \to 1^-}\frac{1}{\lambda}\ln(\frac{2}{1+p})=\frac {\ln(1)}{\lambda}=0$
$\lim\limits_{p \to 1^-}B_{\sup}(p) = \lim\limits_{p \to 1^-}\frac{1}{\lambda}\ln(\frac{2}{1-p})= \frac{1}{\lambda}\times + \infty$
Ce qui colle a mon intuition, pour p=1, on prend $\R^+$.

$\lim\limits_{p \to 0^+}B_{\inf}(p) = \lim\limits_{p \to 0^+} \frac{1}{\lambda}\ln(\frac{2}{1+p})=\frac{\ln(2)}{\lambda}$
$\lim\limits_{p \to 0^+}B_{\sup}(p) = \lim\limits_{p \to 0^+}\frac{1}{\lambda}\ln(\frac{2}{1-p})=\frac{\ln(2)}{\lambda}$
Ce qui ne colle pas du tout. Pourquoi converge-t-on vers la médiane ??
Soit j'ai une erreur dans mes calculs, soit j'ai quelque chose qui m'échappe dans l'intervalle de confiance...

Merci beaucoup, j'étais un peu dans les nuages... et puis comme tu as dit très justement :

GERARD a écrit:

Toujours penser la question concrètement avant de se lancer dans un calcul.