Questions générales sur les séries de Fourier

Jona · May 2009

Bonjour, j'ai un peu mieux étudié maintenant les séries de Fourier, et j'ai cru comprendre qu'au niveau de leurs applications exercices de bases, un même schéma semble revenir ... Néanmoins j'aimerais confirmation de votre part.

On part généralement d'une fonction $f$ définie sur $I\subseteq \mathbb{R}$.

Généralement on va vouloir appliquer le théorème de Dirichlet afin de savoir si la série de Fourier de $f$ converge ou non. Et si oui, vers quoi.

On va, je suppose commencer par devoir vérifier que $f$ est de période $2\pi$, n'est-ce pas ?

Puis qu'elle est continue par morceaux, en calculant certaines limites peut-être ?

Enfin, on doit regarder si $f$ est par hasard dérivable sur l'intervalle, ou en un point afin de calculer la somme de la série, n'est-ce pas ?

Ai-je bien résumé les choses ? Ca manque peut-être de rigueur...

Si vous avez quelque chose d'autre à ajouter à mon "analyse", je suis à l'écoute. De même, j'aimerais savoir quelles sont le genre de questions que l'on peut se poser sur une fonction périodique ? Merci d'avance pour votre participation.

Jona.

GERARD à la maison · May 2009

Attention Jona.

Ce que tu appelles "applications" c'est les exercices simples que tu pratiques. Les séries de Fourier ont de réelles applications (en lien avec la TF par exemple en techniques de télécommunication). Même en maths, où elles correspondent à la décomposition d'une fonction périodique (ou périodisée) sur une base orthonormale infinie.

Cordialement

Cordialement

Jona · May 2009

Oui pardon... J'ai rectifié mon message. En effet par applications, je voulais dire applications directe du cours sur des exos de bases simples, liés à aucun problème particulier.

Jona · May 2009

Bonjour, j'ai une question concernant les séries de Fourier, dans ma définition du cours, elles sont sous la forme :

$$\sum a_n\cos nt + b_n \sin nt$$

Néanmoins, dans mes exercices, il faut toujours calculer $a_0$ afin des les écrire sous la forme :

$$a_0+\sum a_n\cos nt + b_n \sin nt$$

Quelle est la bonne expression donc ?

Merci.

GERARD à la maison · May 2009

Avec le $a_0$, valeur moyenne.

Si la fonction est de valeur moyenne nulle, il ne s'écrit plus.

Cordialement

Jona · May 2009

Ca veut dire quoi : Ma fonction est de valeur moyenne ?

egoroff · May 2009

Lorsque $n=0$, tu as pour tout $t$ : $\sin nt=0$ et $\cos nt=1$. Les deux expressions sont donc équivalentes si tu fais commencer la somme à $n=0$ dans le première et à $n=1$ dans la seconde.

Jona a écrit:

Ca veut dire quoi : Ma fonction est de valeur moyenne ?

Tu as oublié un mot : c'est "la fonction est de valeur moyenne nulle", si la valeur moyenne de la fonction (sous-entendu sur une période) est nulle.

GERARD à la maison · May 2009

Jona.

As-tu remarqué que le $a_0$ s'obtient par un calcul différent des autres $a_n$ ? Et ce calcul de $a_0$ donne ce qu'on appelle la valeur moyenne d'une fonction périodique (voir des cours d'électricité, par exemple).
Donc comme l'explique Egoroff, on peut écrire en une seule formule, à condition de bien savoir que le $a_0$ est un cas particulier.
Par contre, avec les $c_n$, pas de problème.

Cordialement.

NB : "On va, je suppose commencer par devoir vérifier que $f$ est de période $2\pi$, n'est-ce pas ? " Non, la période peut être n'importe quel nombre strictement positif.

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