Question sur le corps à 9 éléments

Jona
Jona
dans Arithmétique
Bonjour.

Je me demandais, soit $\mathbb{F}_9$, le corps à 9 éléments. On peut écrire : $\mathbb{F}_9=\mathbb{F}_3[X]/(X^2+1)$, car $X^2+1$ est irréductible sur $\mathbb{F}_3[X]$... Néanmoins, $X^2+X-1$ est aussi irréductible sur $\mathbb{F}_3[X]$ !

Alors ma question est : A t-on $\mathbb{F}_9=\mathbb{F}_3[X]/(X^2+1)=\mathbb{F}_3[X]/(X^2+X-1)$ ?

Ca me parait très étrange car on aurait $\alpha^2=-1$ et $\alpha^2=-\alpha+1$ ... Donc $\alpha=-1$ ...

Donc il s'agirait de deux $\mathbb{F}_9$ différents ??

Merci pour vos éclaircissements.

Réponses

  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Ils ne sont pas égaux, mais isomorphes. C’est le même corps, mais présenté différemment.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Jona
    Jona
    Isomorphe... C'est-à-dire que si je prends un $X,Y\in \mathbb{F}_9$, il existe une application bijective $\varphi : \mathbb{F}_9\to\mathbb{F}_9'$ tel que :
    $$\varphi(XY)=\varphi(X)\varphi(Y)$$

    ?
  • jobherzt
    jobherzt
    Isomorphes, comme avec n'importe quelle structure algébrique, ca veut dire que les éléments qui sont dedans ne sont pas les memes, mais que la structure est la meme. Donc ce sont les memes corps, mais dont les éléments sont "etiquetés" differemment.

    Effectivement, formellement ca veut dire qu'il existe un morphisme de corps bijectif (et donc qui verifie aussi $\phi(X+Y)=\phi(X)+\phi(Y)$, attention).
  • Jona
    Jona
    Ok ...
  • swarley
    swarley
    Tu n'as pas l'air convaincu ...

    Essaie d'écrire les tables de multiplication (et d'additions... 8-) ) pour ces deux corps, et tu verras qu'effectivement leurs éléments vérifient les mêmes relations !
  • jobherzt
    jobherzt
    Tu as l'air dubitatif :) ?
  • GreginGre
    GreginGre
    Salut,

    l'égalité $\mathbb{F}_3[X]/(X^2+1)=\mathbb{F}_3[X]/(X^2+X-1)$ n'a pas de sens car on ne quotiente pas par le même idéal.

    Par contre, deux corps finis de même cardinal sont isomorphes (c'est du cours).

    Ici, on peut même expliciter un isomorphisme.


    {\bf Exercice: }Montrer que l'application $$\varphi :\mathbb{F}_3[X]/(X^2+1)\to \mathbb{F}_3[X]/(X^2+X-1), P(X) + (X^2+1)\mapsto P(X+1)+ (X^2+X-1)$$ est bien définie et est un isomorphisme d'anneaux.
  • Jona
    Jona
    Avant de faire l'exercice, c'est quoi : $P$ ?
  • swarley
    swarley
    Un polynôme dans $\mathbb{F}_{3}[X]$.

    [Activation de \LaTeX. Bruno]
  • Jona
    Jona
    Je n'arrive vraiment pas à commencer cette démonstration... Ce genre de démonstration d'algèbre pure, j'ai toujours du mal... Pourtant je connais la définition d'un morphisme d'anneau ...
  • egoroff
    egoroff
    Tu as une application $\varphi$ d'un $A/I$ dans un $A/J$, c'est vrai que c'est un peu piégeux mais il faut savoir le faire. C'est pas mal de commencer par vérifier qu'elle est bien définie. Tu commences par regarder une application $\varphi_0 \, : \, A \to A$, que tu composes avec la surjection canonique $\pi \, : \, A \to A/J$, tu obtiens donc $\varphi_1 = \pi \circ \varphi_0 \, : \, A \to A/J$. Jusqu'ici pas de problème. Si tu montres $\varphi_1$ est un morphisme, alors elle induira un isomorphisme de $A/ \mathrm{ker} \, \varphi_1$ sur $\mathrm{im} \, \varphi_1$. Il reste à espérer (et surtout à démontrer) que $\mathrm{im} \, \varphi_1=A/J$ tout entier (i.e. $\varphi_1$ surjective) et $\mathrm{ker} \, \varphi_1=I$ et c'est gagné. Indice : $\pi$ est un morphisme surjectif.
    $$ \xymatrix{ A \ar[r]^{\varphi_0} \ar[rd]^{\varphi_1} \ar[d]_{\pi'} & A \ar[d]^{\pi} \\
    A/I \ar[r]_{\varphi} & A/J }$$
    [Et un diagramme pour mieux visualiser. ;) AD]
  • titou
    titou
    {\bf L'écriture $\mathbb{F}_{9}$ désigne un corps à $9$ éléments défini à isomorphisme près}, celui-ci n'étant pas unique en général, puisque tout corps fini à 9 éléments admet des automorphismes non triviaux.

    Cela implique qu'il y a plusieurs façons de représenter cette même structure.

    A l'opposé, $\R$ n'admet que l'identité comme automorphisme de corps. Donc c'est sympa, il n'y a qu'une seule représentation possible de sa structure. $\R$ est donc "unique" puisque deux corps de réels sont isomorphes, cet isomorphisme étant unique.
  • lewiner
    lewiner
    Jona : pose pour les différencier $\mathbb{F}_9=\mathbb{F}_3[X]/(X^2+1)$ et $\mathbb{F}'_9=\mathbb{F}_3[X]/(X^2+X-1)$. À présent, résous $X^2+1=0$ dans $\mathbb{F}'_9$ et appelles-en $x$ une solution, n'importe laquelle des deux. Tu as alors ton isomorphisme, et un second en prime.

    Cordialement, lewiner
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