questions sur le logarithme

Jona
Jona
dans Analyse
Bonjour, alors que j'étais tranquillement en train de m'entrainer sur les intégrales impropres, je suis tombé sur ça :
$$\int_1^{+\infty} \frac{\ln t }{t^2+1} \,\mathrm dt$$
J'ai dit : "soit, allons-y !" ...
Je n'ai pas réussi à montrer la convergence en $+\infty$ ... Alors j'ai regardé la correction qui se permet d'écrire tout simplement : $$\ln x\le \sqrt{x}$$
Dans ce cas, c'est clair que ça marche, on majore tranquillement l'intégrande par $\dfrac{1}{x^{3/2}}$ ...

Bref, tout ceci m'amène à la question suivante, afin de ne plus avoir de problème de ce genre avec les $\log$, puis-je dire ceci :
$$\forall x\in\, ]0,+\infty[ , \ \forall \alpha>0 , \ \ln x\le x^\alpha$$
Ou bien est-ce uniquement vrai que pour $x$ suffisamment grand ?

Merci.

Réponses

  • remarque
    remarque
    Quand $\alpha\to 0$, $x^\alpha\to 1$ pour $x\neq0$, donc...

    Hollywood, nous voilà :

    12232
  • Jona
    Jona
    Sur le graphique ça semble faux au début ... A partir de quel $\alpha $ je peux le dire alors ?
  • GERARD à la maison
    GERARD à la maison
    Dès que $\alpha > 0$, mais ça ne se voit pas au début pour $\alpha $ proche de 0.
  • remarque
    remarque
    Tu ne vas quand même pas croire aveuglément un dessin (aussi admirable soit-il) ! C'est vrai pour tout $\alpha>0$ pour $x$ assez grand, mais pas pour tout $(x,\alpha)$. Rappelle-toi que l'infini, c'est très loin vers la droite du dessin, surtout vers la fin.

    Exo : montre le.
  • clothoide
    clothoide
    Oui mais là, il suffit simplement de dire qu'en l'infini : $\dfrac{lnt}{t^2+1}\sim\dfrac{lnt}{t^2}$

    Et en écrivant que: $\dfrac{lnt}{t^2}=\sqrt{t}\times\dfrac{lnt}{t^{3/2}}$ ,

    On observe que : $\dfrac{lnt}{t^{3/2}}$ tend vers $0$ en l'infini, donc qu'il existe une demi-droite $[A,+\infty[$ sur laquelle :

    $0<\dfrac{lnt}{t^{3/2}}\leq 1$

    Ce qui devrait permettre de conclure...

    Clotho
  • remarque
    remarque
    Et en écrivant que: $ \dfrac{lnt}{t^2}=\sqrt{x}\times\dfrac{lnt}{t^{3/2}}$ ,

    avec $x=\frac1t$... :D C'est ce qu'avait fait Jona au départ, ce me semble, aux rôles de $1/2$ et $3/2$ près.
  • clothoide
    clothoide
    Salut remarque :)

    Sauf erreur de ma part, j'ai bien relu ce qu'à écrit Jona, et je ne vois nulle trace de ma rédaction...

    Cordialement,
    Clotho
  • GERARD à la maison
    GERARD à la maison
    Clothoïde,

    il ne l'avait pas écrit, puisque ce n'était pas le problème qu'il avait. Mais ce calcul l'a amené à poser une question sur les croissances comparées.

    Cordialement
  • borde
    borde
    Il peut être bon d'avoir dans sa besace quelques inégalités simples et pratiques. Par exemple, pour tout $a,x > 0$, on a :

    $$\ln x \leqslant ae^{-1} x^{1/a}.$$


    Borde.
  • remarque
    remarque
    Oui, il avait fait le même calcul que toi, sans l'écrire en détail, mais en gardant la puissance $-3/2$ pour l'intégrabilité et la puissance $-1/2$ pour manger le log. Moi j'aurais bien vu $-7/8$ et $-1/8$, mais des goûts et des couleurs...
  • Jona
    Jona
    $\displaystyle \ln x \leqslant ae^{-1} x^{1/a}.$

    Drôle d'inégalité... Faut la retenir celle là !
  • remarque
    remarque
    C 'est peut-être moins mystérieux sous la forme $\mathrm{Log}\,y\le \frac ye$, vu que le log est concave, $\mathrm{Log}\,e=1$ et $\frac1e=\frac1e$...
  • Jona
    Jona
    Encore une question sur le log :

    Si j'ai $x^m\ln \dfrac{1}{x^n}$, quand x tend vers plus l'infini, ça tend bien vers $+\infty$ ? Pour $m,n\ge 1$ je veux dire.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Vers −∞, il me semble.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Jona
    Jona
    En fait j'y avais pensé ! Car la croissance du log pour des grandes valeurs est "très très faible", ce qui fait qu'en $+\infty$ elle est souvent négligeable comparé à un polynôme. Néanmoins, je me demandais si le log tendait plus vite vers 0 qu'un polynôme ne tend vers l'infini. (Je ne sais pas si je suis clair...) Après tout, c'est la fonction réciproque de l'exponentielle...(je ne sais pas s'il y a un lien...)
  • egoroff
    egoroff
    Rien à voir. Quel est la limite $\ell$ de $1/x^n$ en $+\infty$ ? quel est la limite de $\ln X$ en $\ell$ ?
  • Jona
    Jona
    $\ell=0, \forall n\ge 0$

    En $\ell$, $\ln X \to -\infty$ ...

    Mais que dire maintenant si on cherche la limite en plus l'infini de : $\dfrac{\ln X}{X}$ ... $\dfrac{-\infty }{ 0^+}=-\infty$ ...

    En effet.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    de façon à revenir à une intégrale plus classique tu poses t = 1/u il vient:

    I = intégrale de 0 à 1 de (-lnu)du/(1+u²)

    sur la borne supérieure d'intégration il n'y a pas de problème de convergence
    et sur la borne inférieure non plus puisque la fonction à intégrer
    est équivalente à ln(u) dont une primitive u.ln(u) - u est bien convergente sur zéro

    le résultat de l'intégration est connu il s'agit de la constante de Catalan G
    définie par une série de Riemann
    G = 1 - 1/3² + 1/5² - 1/7² +........= 0,915 965 594.........

    cordialement
  • titeuf
    titeuf
    Bonjour,

    je sèche sur le calcul de l'intégrale impropre, de 0 à 1, de ln(x)/(x-1).

    D'après la calculatrice, j'obtiens ce qui semble être pi²/6, qui me laisse penser que la bonne méthode est un changement de variable, du style X=sin(x). Mais je tourne en rond.
    J'ai essayé avec cos, avec tan. Je ne vois vraiment pas comment démarrer.

    Merci si vous pouvez me donner un coup de pouce.

    Titeuf.
  • titeuf
    titeuf
    D'un autre côté, tourner en rond avec des fonctions circulaires, c'est normal...
  • egoroff
    egoroff
    :)

    Le résultat à obtenir fait plutôt penser à une somme de série non ?
  • Kamel
    Kamel
    c'est sûr et en commençant par un petit changement de variable, ça devient encore plus clair.
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