Corps quotient

Bonjour,

A la question précédente, n'as-tu pas démontré que $X^9=X$ pour tout $X$ ?
Amicalement.

Bonjour Jona
Révise la table de multiplication dans F₉ (tu n'es pas dans Z/9Z qui d'ailleurs n'est pas un corps).
Tu es en caractéristique 3 donc -2 = 1

Alain

Bonjour Jona

Ben F₃ est un sous-corps de F₉, comme R est un sous-corps de C.
Or -2 = (-1)*2 qui sont tous deux dans F₃, donc le calcul se fait dans F₃.
Il faut bien voir que F₉ s'obtient à partir de F₃ par adjonction d'une racine a d'un polynôme de degré 2, irréductible de F₃[X], par exemple X²+X-1
Tu as donc F₉ = F₃[ a ] en appelant a un élément tel que a²=-a+1
et F₉ = F₃ + a F₃ = { x+a.y | x,y € F₃ }

Alain

Re-bonjour
\begin{quote}
Donc par exemple, dans $ F_9$, $ Q(4)=4^9+4-1=1^9+1-1=1$ ?
\end{quote}
Ici 4 est un élément de $\mathbb F_3$, donc $4=1$
Pour avoir un élément de $\mathbb F_9$, tu dois ajouter un élément qui n'est pas dans $\mathbb F_3$, par exemple $a$ racine de $X^2+X-1$, comme je te l'ai indiqué dans mon message précédent.
Tu peux alors considérer les éléments de $\mathbb F_9$ comme des vecteurs à 2 dimensions sur $\mathbb F_3$ c'est à dire $\{x+ay\mid x,y\in \mathbb F_3\}$, dont une base est par exemple $\{1, a\}$.
ou bien comme la juxtaposition de $0$ et du groupe multiplicatif $\mathbb F_3^* = \{1,a,a^2,\ldots,a^7\}$ cyclique d'ordre $q-1=9-1=8$
Un bon exercice pour se familiariser est de vérifier que $a^2, a^3,\ldots,a^7$ forment bien des vecteurs $x+ay$ tous différents.

Alain

Re-bonjour
$\mathbb F_q$ n'a de sens que si $q$ est une puissance d'un nombre premier $p$, c'est à dire $q=p^r$. On obtient alors les éléments de $\mathbb F_q$ en ajoutant une racine d'un polynôme de degré $r$, primitif irréductible dans $\mathbb F_p[X]$.

Alain

PS : Pour aider les calculs, tu peux aller : http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=SS8741E078.4&+lang=fr&+module=tool\/algebra\/calcff.fr

Rappelons le contexte :
on considère le polynôme $Q=X^9-X+1 \in \mathbb F_3[X]$.
On note $K=\dfrac{\mathbb F_3[X]}{\langle X^3-X-1\rangle}$ qui est un corps à 27 éléments. En appelant $\alpha$ la classe de $X$, on a $K=\mathbb F_3(\alpha)$.\\
Considérons à présent un élément $x \in K$. Alors il existe $a,b,c \in \mathbb F_3$ tels que $x= a \alpha^2+ b \alpha + c$.\\
Regardons ce que donne $x^9-x+1$.\\
$x^9=(a \alpha^2+ b \alpha + c)^9 = a \alpha^{18} + b \alpha^9+c$. Or $\alpha ^3 = \alpha +1$, donc $\alpha ^9= \alpha ^3+1= \alpha -1$, donc $\alpha^{18}= \alpha^2+\alpha +1$.
D'où $x^9= a(\alpha ^2 + \alpha +1) +b(\alpha -1)+c$.\\
Ainsi, après simplifications, $x^9-x+1= a \alpha + a-b+1$.
Donc $Q(x)=0 \Leftrightarrow a=0$ et $b=1 \Leftrightarrow x \in \{ \alpha, \alpha+1, \alpha -1 \}$.
Ce qui prouve bien que ce sont là les seules racines de $Q$ dans $K$, n'est-ce pas ??


Clairon