Série de Fourier et théorème de Dirichlet

Jona
Jona
dans Analyse
Bonjour.

Je suis en train d'étudier la fonction $f$ de période $2\pi$ sur $\mathbb{R}$ définie par :
$$f(t)=\begin{cases} -1 \quad \text{pour} \quad t\in \ ]-\pi,0[ \\ \, \ \ 1 \quad \text{pour} \quad t\in \ ]0,\pi[ \\ \, \ \ 0 \quad \text{pour} \quad t\in\{-\pi,0,\pi\} \end{cases}$$

Mon but est trouver la série de Fourier associée à cette fonction.

Tout d'abord, la fonction $f$ est continue par morceaux sur $[-\pi,-\pi]$. Jusqu'ici pas de problème je pense.

Je dirais également qu'elle est dérivable par morceaux sur $[-\pi, \pi]$ ...

On peut donc appliquer le théorème de Dirichlet ... Qui nous dit que pour tout $t\in [(2k-1)\pi,(2k+1)\pi]$ , $\forall k\in\mathbb{Z}$, $f$ converge quelque soit $t\in \mathbb{R}$. Néanmoins quand je calcule la fonction vers laquelle elle converge, je trouve un truc bizarre et je m'embrouille... Pourriez-vous m'aider ...? J'ai du mal à comprendre comment on procède ...

1) Je dois calculer les coefficients de Fourier ? On va devoir séparer l'intégrale pour les calculer en deux n'est-ce pas ? Mais que fait-on des point $-\pi,0,\pi$ ...?

Merci beaucoup d'avance, je suis perdu...

Réponses

  • egoroff
    egoroff
    Salut Jona,

    Il n'y vraiment pas de quoi se perdre... La première chose est de faire un dessin de la fonction sur quelques périodes. On y voit clairement que $f$ est constante sur chaque intervalle $]k\pi,(k+1)\pi[$, de valeur $(-1)^k$ sur cet intervalle, et nulle en tout multiple de $\pi$. On constante aussi que la fonction est réelle et impaire, ce qui peut aider dans le calcul des coefficients de Fourier.

    A propos de ce calcul, les points isolés $k\pi$ n'interviennent pas puisque l'intégrale ne les "voit pas" ; d'ailleurs on aurait aussi bien pu poser $f(k\pi)=12$ ou même $e^{1000!}$ sans que ça change quoi que ce soit aux coefficients de Fourier. Donc le calcul est simple, comme tu l'as vu il faut séparer l'intégrale en deux parties, remplacer $f$ par $1$ sur l'une et par $-1$ sur l'autre.

    Pour appliquer le théorème de Dirichlet, tu as besoin de connaître les limites à droite et à gauche de ta fonction en tout point $x$. Il y a essentiellement deux cas à considérer :
    - si $x$ n'est pas un multiple de $\pi$, on voit qu'on peut trouver un petit intervalle centré en $x$ sur lequel la fonction est constante ;
    - si $x$ est un multiple de $\pi$, $f$ prend une certaine valeur sur un petit voisinage à droite, et prend une valeur différente sur un petit voisinage à gauche ; on peut identifier ces valeurs suivant la parité de $x/\pi$ mais en fait peu importe ar ce qu'on veut c'est leur somme.
  • Jona
    Jona
    Salut, merci pour ces précisions, j'ai fait le dessin.

    Si je veux calculer la série de Fourier, je dois calculer les coefficients :

    Comme la fonction est impaire, on a $a_n=0$.

    $$b_n=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^0 - \sin(nt) \, \mathrm dt+\int_{0}^\pi \sin(nt) \, \mathrm dt\right)=\frac{4}{\pi}$$
  • Jona
    Jona
    Donc la série de Fourier est la suivante :
    $$SF(f)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\sin nt$$

    N'est-ce pas ? Pourtant dans mon cours ils trouvent :
    $$SF(f)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^\infty \frac{\sin (2n+1)t}{2n+1}$$
    Pourquoi ?
  • GERARD
    GERARD
    Salut Jona.

    Comme d'habitude, tu es allé trop vite. Détaille le calcul, en particulier quelle est la valeur de $cos(n \pi)$ ?

    Cordialement
  • Jona
    Jona
    Ah oui, oups, je crois avoir vu mon erreur :

    $\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^0 - \sin(nt) \, \mathrm dt+\int_{0}^\pi \sin(nt) \, \mathrm dt\right)=\frac{4\times (-1)^n}{n\pi}$

    Sinon, $\cos(n\pi)=(-1)^n$.
  • GERARD
    GERARD
    Non, c'est encore faux.

    NB : Quand f est impaire, les $f(t) sin(n \omega t)$ sont paires. Donc
    $\displaystyle b_n=\frac{2}{\pi} \int_{0}^\pi \sin(nt) \, \mathrm dt$
    Ce qui simplifie le calcul.
  • Jona
    Jona
    Hmm... Ok.

    Donc : $ \displaystyle b_n=\frac{2}{\pi} \int_{0}^\pi \sin(nt) \, \mathrm dt=\frac{2 \cdot(1+(-1)^{n+1})}{n\pi}$

    N'est-ce pas ?

    Edit : "2" au dénominateur retiré.
  • GERARD
    GERARD
    Oui,

    et ça peut s'écrire plus simplement (en faisant 2 cas).
  • Jona
    Jona
    Ah ... Je crois que je viens de comprendre...

    $(b_n)$ est donc une suite lacunaire définie par :

    $b_{2n}=0$ et $b_{2n+1}=\dfrac{4}{(2n+1)\pi}$

    Edit : il y avait une erreur dans mon $b_n$ du message précédent... Je ne sais pas pourquoi j'avais mis un "2" au dénominateur...
  • Jona
    Jona
    Bref au final on obtient bien la même série que dans mon cours, puisque la série de TG 0 sera nulle, et il ne restera plus que ce qui nous intéresse.
    $$[SF(f)](t)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^\infty \frac{\sin([2n+1]\,t)}{2n+1}$$

    Je dois maintenant utiliser le théorème de Dirichlet pour dire que $f=SF(f)$ ?

    Donc on calcule : $\dfrac{1}{2} (f(t^+) + f(t^-))=0$ non ?
  • GERARD à la maison
    GERARD à la maison
    Relis le message d'Egoroff, il a tout dit.

    Cordialement

    NB : Si tu as fait le petit dessin de la représentation graphique de f, tu connais déjà le résultat.
  • remarque
    remarque
    Et dans la série, « les séries de Fourier vont au cinéma », le théorème de Dirichlet en action live :

    12292
  • Jona
    Jona
    Merci pour cette animation remarque !

    Sinon Gérard,
    egoroff a écrit:
    Pour appliquer le théorème de Dirichlet, tu as besoin de connaître les limites à droite et à gauche de ta fonction en tout point $ x$. Il y a essentiellement deux cas à considérer :
    - si $ x$ n'est pas un multiple de $ \pi$, on voit qu'on peut trouver un petit intervalle centré en $ x$ sur lequel la fonction est constante ;
    - si $ x$ est un multiple de $ \pi$, $ f$ prend une certaine valeur sur un petit voisinage à droite, et prend une valeur différente sur un petit voisinage à gauche ; on peut identifier ces valeurs suivant la parité de $ x/\pi$ mais en fait peu importe ar ce qu'on veut c'est leur somme.

    A vrai dire je n'avais pas bien compris ce passage... Je ne comprends pas l'histoire d'un : "petit intervalle"... Désolé mais je ne suis pas encore très à l'aise là dessus...
  • GERARD
    GERARD
    Jona,

    Prenons le cas de l'intervalle I = ]0;1[. Pour une valeur x tu vois que tu peux trouver un intervalle ]x-e;x+e[ inclus dans I.

    Mais ce qui sert simplement, c'est que f est continue sur I, et que ses limites à droite et à gauche en -1, 0 et 1 sont définies. Appliques ton théorème.

    Cordialement
  • Jona
    Jona
    Je vois.

    Mais comment mettre en forme l'application du théorème ? Dois-je séparer les trois cas ?
  • egoroff
    egoroff
    Pourquoi dis-tu "je vois" dans ce cas ? Désolé mais Gérard a raison : tout est dans mon message :)
  • GERARD
    GERARD
    Jona.

    Quel est l'énoncé de ton théorème ?
  • Jona
    Jona
    Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, périodique de période $2\pi$ et continue par morceaux sur $\mathbb{R}$. Soit $t_0\in\mathbb{R}$ tel que :

    $i)\quad f(t_0+0)=\lim\limits_{t\to t_0,t>t_0} f(t) \qquad \text{et} \quad f(t_0-0)=\lim\limits_{t\to t_0,t<t_0} f(t)\;$ existent.

    $ii)\quad \lim\limits_{h\to 0, h>0} \dfrac{f(t_0+h)-f(t_0+0)}{h} \qquad \text{et} \quad \lim\limits_{h\to 0, h<0} \dfrac{f(t_0+h)-f(t_0-0)}{h} \;$ existent.

    Alors la série de Fourier de $f$ converge au point $t_0$ et a pour somme $\dfrac{1}{2}[f(t_0+0)+f(t_0-0)]$.

    En particulier si $f$ est dérivable en $t_0$ alors la série de Fourier de $f$ converge au point $t_0$ et a pour somme $f(t_0)$.
  • egoroff
    egoroff
    OK, on en revient toujours au point de départ ; que valent $f(t_0+0)$ et $f(t_0-0)$ ?
  • clothoide
    clothoide
    Salut Jona,

    De toutes les façons, vu la définition de ta fonction $f$, tu n'as pas trop le choix pour répondre à Egoroff.

    $f(t_0 + h)$ est soit égal à $1,-1$ ou $0$ si mutiple de $\pi$

    Clotho
  • GERARD à la maison
    GERARD à la maison
    Jona,

    Une conséquence évidente de ton théorème est que si f est dérivable en $x_0$, la série de Fourier converge en $x_0$ vers $f(x_0)$. Et que si elle est construite avec sur chaque période un nombre fini de morceaux de fonctions dérivables sur $\R$, elle converge partout (Les deux conditions sont vérifiées), vers $f(x_0)$ là où elle est continue, vers $\frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2}$ quand elle est discontinue en $x_0$.
    Une fonction constante étant dérivable ...

    Cordialement
  • Jona
    Jona
    Bonjour.

    En $-\pi$ $f(-\pi+0)=-1$ et $f(-\pi-0)=f(\pi-0)=1$ Donc $\dfrac{1}{2}[f(-\pi-0)+f(-\pi+0)]=0$

    En $0$ $f(0+0)=1$ et $f(0-0)=-1$ Donc $\dfrac{1}{2}[f(0-0)+f(0+0)]=0$

    En $\pi$ $f(\pi+0)=f(-\pi+0)=-1$ et $f(\pi-0)=1$ Donc $\dfrac{1}{2}[f(\pi-0)+f(\pi+0)]=0$

    Les limites existes ... Elles valent toutes 0...
  • egoroff
    egoroff
    OK, tu as traité le cas des multiples de $\pi$, c'est bien (d'ailleurs ce n'est pas la peine de regarder en $\pi$ {\bf et} en $-\pi$, pourquoi ?). Tu n'as pas vérifié ton hypothèse $(ii)$ mais bon.

    Maintenant il reste à régler les cas $t_0 \in ]0,\pi[$ et $t_0 \in ]-\pi,0[$.
  • Jona
    Jona
    Sur $]0,\pi[, f(t_0+0)=f(t_0-0)=1$

    Sur $]-\pi,0[, f(t_0+0)=f(t_0-0)=-1$

    Non?
  • gerard pas loggé
    gerard pas loggé
    Jona,

    as-tu vraiment besoin qu'on te confirme toutes les évidences ?

    Bon tu as fini, non ?

    Cordialement
  • Jona
    Jona
    Bon, bon ok, j'arrête... J'aurais peut-être dû choisir un exemple un peu plus complexe pour appliquer le théorème de Dirichlet ici...
  • egoroff
    egoroff
    Oui, et on te fait cadeau de la vérification de l'hypothèse numéro 2 du théorème de Dirichlet.

    Il est quand mêem intéressant de noter ici qu'on aurait pu choisir n'importe quelle autre valeur pour $f(0)$ et $f(\pi)$, ça ne change pas les coeffcients de Fourier, donc ça ne change pas la somme non plus. Mais la somme de la série de Fourier sera tout de même nulle en $0$ et en $\pi$ (puisque c'est la même, ou en appliquant le théorème de Dirichlet à la fonction $f$ modifiée) d'où l'interêt de choisir $f(0)=f(\pi)=0$.
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