Série entière, rayon de convergence

Jona
Jona
dans Analyse
Bonjour, j'ai une série entière, pour laquelle je cherche le rayon de convergence.
$$\sum \frac{\sin n}{n} z^n$$

Bien sûr, j'ai écrit : $\displaystyle \left|\frac{\sin n}{n}\right|\cdot |z|^n\le \frac{|z|^n}{n}$

A partir de là, j'en conclue que le rayon de convergence est R=1.

Néanmoins, ma correction ne conclue pas aussi vite elle... Elle se contente juste de dire que de mon argument, on peut dire que $R\ge 1$ ... Pourquoi ?

Merci

Réponses

  • GERARD
    GERARD
    Jona.

    Tu as seulement montré qu'il y a convergence pour tout z tel que |z| <1. Ca ne dit rien sur les autres z.

    Encore une fois, relis le cours correspondant pour bien le comprendre.

    Cordialement
  • egoroff
    egoroff
    Tu majores ton terme général par un truc qui diverge si $|z|>1$, mais ce n'est pas parce que c'est majoré par un truc divergent que c'est automatiquement divergent ! Par exemple $1/n^2 \leq 1/n$, $1/n$ est le t.g. d'une série divergente mais pas $1/n^2$.

    Pour montrer que ça diverge pour $|z|>1$, il faut {\bf minorer} par un truc qui diverge !
  • Guego
    Guego
    Gerard et egoroff t'ont expliqué les limites de ton argumentation. Pour montrer une éventuelle divergence, tu peux peut-être regarder ce que devient la série avec $z=e^i$...
  • Jona
    Jona
    Je vois... Merci.
  • Jona
    Jona
    Pourquoi $z=e^i$ ?
  • Guego
    Guego
    ...parce que ça marche bien ?

    Plus sérieusement, $\sin(n) = \dfrac{1}{2i}e^{in} - \dfrac{1}{2i}e^{-in}$. Si on prend $z = e^i$, on a $z^n = e^{in}$ qui va bien interagir (au sens commun, pas GDN :) ) avec le $\sin(n)$.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonsoir Jona

    ta série génératrice de terme général z^n.sin(n)/n
    admet une alternance régulière de signe liée à sin(n)
    la convergence est donc assurée quel que soit z

    il en est de même d'ailleurs pour la série associée de terme général z^n.cos(n)/n

    la première série donne une fonction Arctan[z.sin1/(1 - z.cos1)]
    la seconde donne une fonction - (1/2).ln[z² - 2z.cos1 + 1]

    le rayon de convergence de leur développement polynomial est infini

    cordialement
  • GERARD
    GERARD
    Bonjour Jean.

    Bizarre, ce que tu écris. Tu dis que la convergence est assurée pour tout z. Puis tu donnes une somme qui n'est pas définie quand z cos(1) = 1.

    Bizarre, bizarre.

    Cordialement.

    S'il te plaît, évite de perturber les étudiants qui ont déjà bien du mal à comprendre ce qu'ils font avec leurs cours.
  • pl0
    pl0
    en $z=1$ la série converge mais pas absolument (non trivial mais classique) : le rayon est donc 1.
  • olib
    olib
    On peut aussi dire qu'une série entière et sa série entière dérivée ont même rayon de convergence.
  • breukin
    breukin
    Oui, dans une autre discussion, Jean affirmait que la série zeta de Riemann convergeait si |z|=1 sous le même prétexte d'alternance régulière... Ce concept doit être manipulé avec un peu plus de précautions.
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