Polynôme stabilisé par un groupe

Ayoub
Ayoub
dans Algèbre
Bonsoir à tous :)

Je suis en train de faire mon tipe, et je rencontre quelques problèmes d'ordre technique... Un peu d'aide serait bienvenue...

Position du problème:
On s'est donné un polynôme, à savoir p(t)=t^7-7t+3 et on souhaite déterminer son groupe de Galois. Le but du jeu est de n'utiliser aucune stûce ie rien qui soit particulier à ce polynôme, le but étant de montrer dans un cas particulier un exemple d'algorithme déterministe effectif de groupe de Galois. Une obligation: utiliser des résolvants.

Ce que j'ai fait:
Déjà, p est irréductible, donc on n'a à chercher parmi les sous-groupes transitifs de S7. Ca tombe bien, puisqu'on les connait tous:Ici.
Le discriminant de P valant 3878, Gal(P) est un sous-groupe de A_7 donc finalement, on doit chercher Gal(P) parmi (je reprend les notations du lien): C7,G21,G168,A7.

Ce que j'aimerais faire:
En fait, Gal(p) c'est PSL(2,7) le groupe simple d'ordre 168 je le sais déjà. J'aimerais utiliser le résultat suivant:

Si R(F,p) ( la résolvante associée à $F\in\mathbb{Z}[X_1,...,X_7]$ et p) est à racine simple (sur C) et admet un facteur linéaire (sur Q) alors Gal(p) est inclus (à conjugaison près) dans $Stab_{S_7}(F)$ (où S7 agit naturellement sur F par permutation des indéterminées).

Pour cela, j'ai donc besoin de deux polynômes F1 et F2 de Z[X1,...,X7] tels que stab(F1)=G21 et stab(F2)=G168.

Mais là, c'est carrément le bordel: comment trouvez deux tels polynômes? :S Je suis perdu, je vois vraiment pas comment faire...


Une idée?
:)

Réponses

  • jobherzt
    jobherzt
    Une remarque en passant : il me semble que ton approche utilise pas mal de propriétés specifiques au polynome, contrairement a ce que tu as l'air de vouloir faire. par exemple, la connaissance des sous groupe de $S_7$, et le resultat que tu enonces qui comme ca n'a pas l'air applicable a tout polynome.

    Sinon, une piste : une technique generale pour construire un polynome invariant sous l'action (linéaire !) d'un groupe $G$ consiste à prendre n'importe quel polynome $P(X)$ et à regarder :

    $$
    Q(X)=\sum_{g \in G} g \cdot (P(X))
    $$

    $Q$ est invariant par $G$ par construction. Apres il faut bricoler pour que le stabilisateur soit exactement $G$ et pas un groupe plus gros. Il y a peut etre une maniere intelligente de choisir $P$ pour que ca marche... Peut etre qu'il suffit que Stab($P$) soit trivial, je ne sais pas...
  • Ayoub
    Ayoub
    Ce qui veut dire qu'étant donné un sous-groupe G se S_n, on ne sait pas a priori construire F dans Z[X1,..,Xn] tel que son stabilisateur soit précisemment G?

    Zut alors!

    :S
  • jobherzt
    jobherzt
    Entre "on" ne sait pas et "je" ne sais pas, il y a une difference de taille :) Mon message ne reflete que l'etat de mes propres connaissances. Je te propose une piste qui s'approche de ce que tu veux, et conjecture une solution plus complete, tu peux toujours essayer et verifier que ca marche...
  • Ayoub
    Ayoub
    Ok. :)

    La réponse à mon dernier post est "NON" en fait, je me suis renseigné: c'est toujours faisable et même dans un cadre un peu plus général. D'ailleurs, il y a même des logiciels qui le font (comme GAP4 par exemple...).

    Il me reste donc plus qu'à comprendre comment fonctionne ce logiciel. :D

    :)
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