Modèle standard et représentations des groupes.

jobherzt · March 2009

Bonjour à tous, une vaste question. Comme je ne sais pas trop ce que j'attends, la premiere difficulté est de poser ma question correctement

En gros, comme je bosse un peu dans le domaine, je cherche a mieux comprendre, dans un sens un peu informel, les applications effectives de la theorie des groupes à la physique des particules. Malheureusement, en fouinant sur le net, je tombe soit sur des cours de pure theorie des representations pour physiciens, soit sur des documents plus techniques d'un point de vue physique desquels je n'arrive pas a degager ce qui m'interresse.

Bref, je comprends assez bien qu'on observe des symétries dans les phénomènes physiques mis en jeu, qu'on en tire des groupes de symétries, et donc que les "trucs" associés à une particule, a un systeme physique... forment naturellement des représentations de ces groupes. En particulier il y a "le" groupe du modèle standard, qui fournit une unification des 3 forces fondamentales autre que la gravitation.

la question que je me pose est : comment utilise t on concretement, de maniere effective, le fait d'avoir des représentations ? J'imagine que ca apporte des simplifications de calculs, mais je m'interresse aussi aux resultats "qualitatifs", cad qui permettent de dire des choses un peu générales.

En fait, en tant que matheux, quand je pense symétries et représentations, je pense "classification" et "contraintes". Il me semble par exemple que les propriéés fondamentales des particules élémentaires (charge electrique, spin, etc..) sont naturellement associées a des representations des groupes correspondants. Est ce que par des considerations purement algébriques en regardant les contraintes imposées, on peut obtenir des resultats sur le comportement, les interactions ou les configurations possibles ?

Dans la meme veine, est ce que le produit tensoriel de representations, et la decomposition en rep irreductible ont un "sens" bien defini dans ce contexte ? J'ai cru comprendre que les particules elementaires correspondaient aux reps irreductibles, est ce que donc le produit tensoriel correspond a des particules "composites" ? On m'a presenté par exemple la regle de Littlewood Richardson comme une technique utilisée par les physiciens depuis les années 30 (alors que sa demo rigoureuse est recente, soit dit en passant

).

Pour peut etre fixer un exemple, il paraitrait que la theorie des quarks est derivée de pures considerations de th. des groupes. Si j'ai bien suivi, un quark peut prendre 3 couleurs ou 3 anticouleurs, avec comme groupe de symetrie SU(3). Un quark serait donc associé a la representation fondamentale $(3)$. Dans ce cas est ce qu'une particule contenant 3 quarks serait associée a l'une des representation intervenant dans la decomposition de $(3)\otimes (3) \otimes (3)$ ? Quelle "signification" cela aurait il ?

merci d'avance pour vos reponses !

marco · March 2009

Bonsoir,

Ce sont les théories de Yang et Mills qui décrivent à partir d'un groupe de symétries d'un type de particule, les interactions entre deux de ces particules.
Pour les 3 quarks, deux auront des spin orientés dans un sens, et un dans l'autre sens, ce qui fait que les 3 quarks auront un spin total égal à 1/2 ( et pas 3/2). C'est la configuration la plus stable.

Eric Chopin · March 2009

C'est pas faux tout ça ! Pour ce qui est des quarks on a d'abord observé des phénomènes de
charges similaires aux charges électriques, mais il fallait mettre de l'ordre dedans.
On a donc essayé de dénombrer les configurations de charges possibles et essayé de voir si
chacune correspond à une représentation d'un groupe en particulier, en se disant que la théorie
de jauge de l'électromagnétisme peut s'étendre à d'autres types de particules.
Seulement si pour l'électromagnétisme on peut se passer de parler de représentation de
groupes, dans le cas des quarks le nombre de configurations possibles suggérait
fortement une classification par les représentations irréductibles d'un groupe (une représentation
réductible correspondant alors à un état à plusieurs particules, ce qui permet justement
de se ramener à l'étude des représentations irréductibles). On est tombé sur SU(3), et
en faisant pareil avec l'interaction faible sur SU(2) mais là il y a des problèmes de brisures
de symétrie qu'on va tenter de comprendre dans l'accélérateur LHC (en espérant qu'il marche un jour...).
Concrètement les fonctions d'ondes des particules sont à valeur dans une de ces représentations
irréductibles. Le groupe de symétrie a un rôle fondamental pour modéliser les interactions.
Le lagrangien associé à ces particules est supposé être symétrique par l'action du groupe sur
les fonctions d'ondes (notons les $\psi$ par exemple), et le plus important de tout est que cette
symétrie doit être locale, c'est à dire que si tu transformes $\psi(x)$ en $U(x)\psi(x)$, le lagrangien
doit être invariant ($U(x)$ appartenant à la représentation du groupe).
Or un lagrangien c'est en gros une fonction genre polynomiale en $\psi$
et en ses dérivées locales $\partial_\mu \psi$. Et le fait que ces dérivées interviennent oblige
à faire intervenir une fonction supplémentaire, appelée fonction de jauge, sans laquelle la symétrie
ne peut être locale. On voit alors que ce champs de jauge est à valeurs dans la représentation
adjointe du groupe pour que la symétrie fonctionne. Sous l'action de $U(x)$, le champs de jauge doit
lui aussi se transformer en même temps que $\psi$ ( $A_\mu$ devient $A_\mu + ig U^{-1}\partial_\mu U$ ).
$A_\mu$ (à valeurs dans l'algèbre de Lie) apparait alors être une connexion affine d'un fibré
dont la base est l'espace temps et la fibre l'algèbre de Lie du groupe (fibré principal). Une
transformation de jauge apparait donc comme un changement de section dans ce fibré.
Une fois donc que tu as introduit $A_\mu$ dans le lagrangien, tu as toutes les variables dynamiques
suffisantes et à partir du lagrangien tu obtiens les équations de la dynamique de tes champs
(la matière décrite par $\psi$, et les interactions décrites par $A_\mu$).
On parle de la dynamique classique car jusque là tu peux décrire l'évolution de la fonction
d'onde d'une seule particule mais tu ne rends pas compte de la création/annihilation de particules.
Ca c'est l'affaire de la seconde quantification où on introduit un espace de Fock, comme
étant en gros la somme directe des produits tensoriels de n fois l'espace à 1 particule, n allant
jusqu'à l'infini.
Voilà en très rapide, mais j'ai surement skippé quelques détails ... ;-)

eric

Mauricio4 · March 2009

3 c'est SU(3), le groupe que tu écris est celui de QCD et ce n'est pas un bon endroit pour débuter... 2 ou même U(1) c'est quand même plus facile.
M.

jobherzt · March 2009

merci pour ces details. Je vais jeter un oeil a Yang Mills.

Merci Eric, le "c'est pas faux" me fait plaisir. Ok pour les explications, effectivement j'avais aperçu ces histoires de symétries du Lagrangien, de fibré, mais tes explications sont bien plus claires.

Je chipote mais comme dit, je cherche aussi des interpretations moins calculatoires. Le fait qu'on ait deduit le groupe de symétrie à partir des configurations possibles (et pas l'inverse) est très intérressant et curieux de ce point de vue ! Si tu as un lien, ou plus de details sous la main je suis preneur. Je reve d'un petit "genese de la theorie des quarks a l'usage des algebristes"

En gros je cherche des choses du genre "puisque on est dans une representation de tel groupe, on a le droit de mettre ca et ca ensemble, mais pas ca et ca", comme ca a l'air (retrospectivement) d'etre le cas pour les quarks.

Et pour ce qui est de la decomposition en somme directe de la 3e puissance de (3), est ce que ma question a un sens ?

Ah, et que designe tu exactement par "le champs de jauge" $A_{\mu}$ ?

Pour la brisure de symétrie, c'est là que se cache le boson de Higgs ?

Eric Chopin · March 2009

Prenons dans le desordre: oui le Higgs c'est une particule scalaire qu'on aimerait bien etre
a l'origine de la brisure spontanée de symetrie (si il existe, et en plus si on croit a la super-symetrie
il pourrait y en avoir plusieurs...). On sait que cette particule, si elle existe, devrait avoir une masse
plus grande que 200 GeV, d'ou la construction d'un accelerateur plus puissant que le precedent
(le LEP, 91 GeV).
Pour ref voir par exemple http://pagesperso-orange.fr/eric.chopin/these/V55.PDF ;-) (attention 3Mo)

Concernant $A_\mu$: Si tu as un Lagrangien ne faisant intervenir qu'un terme
d'energie cinétique (pour simplifier) de la forme $\frac{1}{2}\partial_\mu \psi \partial^\mu \phi$ ou $\mu=0,1,2,3$
designent les coordonnées $t,x,y,z$ et la convention d'Einstein est utilisée, alors si tu remplaces
$\psi$ par $U(x)\psi$ et que $U$ n'est pas constant, tu as de nouveaux termes qui interviennent
et le Lagrangien n'est pas invariant. Mais si tu remplaces la derivée $\partial_\mu$
par une dérivée covariante $\partial_\mu -ig A_\mu(x)$, $g$ etant une constante dite de couplage,
$A_\mu$ etant une fonction de $x \in R^4$
et a valeur dans $R^4 \otimes {\cal G}$ , $\cal G$ etant l'algèbre de Lie du groupe, et que $A_\mu$
se transforme lui aussi avec la symetrie de jauge, alors le résultat est bien invariant. Toute l'alchimie
des theories de jauges est la. Donc dans le cas de cas de l'electromagnetisme, $A_\mu$
est simplement une fonction a valeur vectorielle, c'est le fameux potentiel-vecteur.

Pour les decompositions de représentations, j'ai oublié pas mal de leur zoologie, mais une
ref que je met a toutes les sauces parce que pas mal c'est le bouquin de Cornwell
(group theory in physics and applications ou un truc dans le genre). Il y en a certainement
pleins d'autres et si j'en trouve je t'en ferai part. A la base il y a la classification de Cartan
des algebres de Lie semi-simples, et si tu maitrises diagrammes de Dynkin et tableaux de Young
ca te paraitra un jeu d'enfant .... ;-)

A+

eric

jobherzt · March 2009

Merci encore. En fait je ne cherchais pas comment calculer les decompositions en somme de reps. irreductibles, mais à savoir quelle interpretation cette decomposition avait dans cet exemple précis, notamment sur ce que peut ou ne peut pas etre une particule qui contient 3 quarks.

Eric Chopin · March 2009

Tu peux deja jeter un oeil sur:

http://en.wikipedia.org/wiki/Quark_model

http://en.wikipedia.org/wiki/Eightfold_way_(physics)

http://math.ucr.edu/home/baez/qg-spring2003/eightfold/

eric

jobherzt · March 2009

merci bien, j'avais regardé "quark" mais pas "quark model"

(Bizzare, mon message est considéré comme un SPAM, est il trop court ?)

jobherzt · April 2009

Salut Eric (ou n'importe qui d'autre qui passe par là

)

J'ai jeté un oeil à tout ca, c'est littéralement passionnant. Mais je me pose encore quelques questions :

- d'un coté, j'ai un papier de Baez (que j'ai signalé ici, d'ailleurs) qui explique très bien la notion d'unification à partir de l'exemple simple de l'unification protons/neutrons, qui en gros sont identiques à la charge electrique et une legere difference de masse pres, avec une symetrie SU(2) derriere, et ou si j'ai bien compris l'action se ramene a echanger les qurks up et les quarks down. Apparemment cette symétrie est encore utile quoique approximative, en gros si on oublie la force electromagnetique (ou plutot si on ne regarde que l'interaction forte ??)

- de l'autre, si je veux rester dans la demarche historique, j'ai ce fameux Eightfold way de Gell Mann, qui postule l'existence de 3 quarks à partir d'une symetrie SU(3). Pourtant il me semble que le quark s est vachement plus lourd que u et d, donc la symetrie de Gell Mann, meme si elle lui a permis de decouvrir les quarks, n'a pas l'air d'etre une bonne approximation a cause de cette histoire de masse. Pourtant il semble que le regroupement en octet sur lesquels il se base sont correct, et donc que ces particules sont "interchangeables" d'une certain point de vue (lequel ?)

DOnc quel point de vue prendre ? Je me doute que les deux ont leur raison d'etre mais bon.. Parle t ils bien de la meme chose

?

Autre question, peut etre naive : est ce que quand on parle du modele standard on se place forcement dans un cadre "quantique" ? J'imagine que oui, mais bon... Est ce que du coup c'est histoires de representations ont un sens parce qu'un nucleon peut etre a 10% un proton et a 90% un neutron ? Cad est ce qu'on peut forcement prendre des combinaisons lineaires (de norme 1) de particules dans ces representations ? Prace que j'ai l'impression qu'il y a ce modele des quarks qui utilise des symetries "entre particules" cad qu'on peut "transformer une particule en une autre", mais que les symetries de jauge elle encodent plutot l'invariance d'une loi physique....

Merci encore pour tes lumieres !

Léon1 · April 2009

Pour répondre juste à ton dernier paragraphe: oui le modèle standard c'est bien sûr du quantique!

Tu es algébriste donc tu es attiré par cet aspect représentations je te comprends, mais c'est bel et bien de la physique donc je te conseille de pas mettre la charrue avant les beufs et d'apprendre la théorie dans l'ordre: d'abord la méca quantique de base (atomes et molécules non-relativistes: Hamiltonien, nombres quantiques dont spin, effets Stark et Zeeman, atome d'hélium, molécule d'hydrogène,... bref tous les trucs de base impératifs). Puis ensuite théorie des champs.

Il y a alors des livres d'introduction à la physique nucléaire par exemple ceci http://books.google.fr/books?id=YgkfZgFdui8C&printsec=frontcover&source=gbs_summary_r&cad=0 et celà http://books.google.fr/books?id=WFDs_SJgILQC&printsec=frontcover&source=gbs_summary_r&cad=0

Voici ensuite un livre qui donne plus de détails sur l'isospin et les groupes de Lie (i.e. la symmétrie qui échange protons et neutrons dont tu parles) http://books.google.fr/books?id=lnPdEbHamCIC&printsec=frontcover&source=gbs_summary_r&cad=0

Tu devrais aussi lire pour compléter des thèses ou des HDR, il y a souvent des passages historiques ou pédagogiques utiles, par exemple le premier chapitre de ceci http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/15/36/57/PDF/hdr_drebreyend.pdf

A propos de ce que disait Eric sur le Higgs, non sa masse n'est probablement pas supérieure à 200GeV, en fait elle sera plus vraisemblablement dans la région 114-132GeV d'après les résultats récents du Tevatron, voir ceci http://dorigo.wordpress.com/2009/03/25/latest-global-fits-to-sm-observables-the-situation-in-march-2009/

Léon1 · April 2009

J'oubliais le plus important: le meilleur bouquin à mon avis pour la MQ de base c'est celui-ci (2ème édition c'est important) http://books.google.fr/books?id=i5IPWXDQlcIC&printsec=frontcover&source=gbs_summary_r&cad=0

Eric from sg · April 2009

Salut,

Quand on parle de quantique il faut se mefier, suivant le contexte ca n'a pas la meme
signification. Quand tu fais de la mecanique quantique a la Schroedinger (donc non relativiste),
le simple fait de considerer des fonctions d'ondes est considere comme quantique, parce que
tu consideres des vecteurs d'etats dans un Hilbert (en l'occurence celui des fonctions de carre
sommable). En theorie des champs (donc relativiste), on n'attribue pas au terme quantique
la meme signification, qui sous-entend plutot "seconde quantification", c'est a dire le
modele permettant de rendre compte de la creation ou de l'annihilation de particules.
Dans ce cadre, dire que le modele standard est un modele quantique n'a pas de sens, car
le modele standard repose sur un Lagrangien, et rien ne t'empeche de considerer les champs
comme etant des fonctions d'ondes classiques (ca arrive qu'on fasse parfois cette "approximation"
dans certains calculs d'astrophysique par exemple, du style la dynamique d'une particule
dans un champs plus ou moins homogene, etudes des monopoles de t'Hooft Polya, ou meme en QCD
parfois quand on cherche a resoudre les equations Yang-Mills comme des equations classiques
pour rendre compte du principe de confinement des quarks, ou encore les ambiguites de Gribov
sur les champs de jauge). Si tu me suis, quand on est dans un contexte de theorie des champs,
parler des aspects quantiques revient a parler en termes de graphes de Feynman.
Ca n'est meme pas vrai en general, car pour beaucoup d'auteurs on ne parle de quantique
que pour les graphes de Feynman comportant des boucles.
Comme on developpe les amplitudes de transition en puissances de la (des) constantes de couplages,
le premier terme de la serie est appele approximation classique, et les termes d'ordre superieurs,
qui comportent des boucles, sont appeles termes quantiques.

Dans ce contexte, la theorie de Connes de reformulation du Modele Standard ne sait
rendre compte que de la partie "classique" de la theorie, a ce jour en tous cas.

Pour pousser un peu plus loin, puisque tu t'interesses au theories d'unification,
les termes quantiques (avec boucles) sont justement ceux qui necessitent l'introduction
du principe de renormalisation, car ces boucles donnent lieu a des calculs d'integrales
divergentes. On tronque donc ces integrales par un certain parametre, dit d'echelle (d'energie),
et l'unification consiste a chercher s'il existe eventuellement une echelle d'energie
pour laquelle le modele standard se reduirait a une theorie de jauge avec une seule constante de
couplage.

Sinon pour commenter la remarque de Leon:
>A propos de ce que disait Eric sur le Higgs,
>non sa masse n'est probablement pas supérieure à 200GeV,
>en fait elle sera plus vraisemblablement dans la région 114-132GeV
>d'après les résultats récents du Tevatron, voir ceci [dorigo.wordpress.com]

Ca me parait etre tres tres anticipe de prendre pour argent comptant
ces resultats du Tevatron, en tout cas leur interpretation devrait inciter a la prudence,
surtout quand on sait comment ils sont obtenus (je parle uniquement des predictions
sur la masse du Higgs, rien a dire sur le reste). En particulier quand tu vois
le peu de statistique prise en compte dans les resultats, ca fait peur.
J'ai vu ce type de graphique suffisamment souvent pendant ma these pour savoir
qu'il ne faut absolument pas tenir compte du "95% confidence level",
cette valeur n'a pas grande signification quand on a tres peu de statistique.
D'ailleur si tu regardes bien le graphe,
la zone bleue est une zone d'incertitude THEORIQUE, pas du tout experimentale
(a ce jour il n'existe pas de moyen d'avoir une limite superieure experimentale
autrement qu'en ayant decouvert le Higgs).
D'ailleurs pour ma part je suis plus que sceptique sur l'existence meme du Higgs,
mais c'est un avis perso.

Jobhertz, pour en revenir a ton message initial, la symmetrie SU(2) dont tu parles
pour la QCD, s'il s'agit bien de ce a quoi je pense, date d'avant la mise en evidence
des quarks, a une epoque ou l'interaction forte etait modelisee par une interaction
avec des pions (particules scalaires composees de 2 quarks).
Aujourd'hui avec le modele des quarks, c'est la symmetrie SU(3)
qu'il faut prendre en compte. Note bien que la difference de masse entre les quarks
ne pose aucun probleme a la symetrie SU(3), qui concerne l''interaction, c'est a dire le
champs de jauge, c'est a dire encore les gluons, et ceux-ci sont bien tous de masse
nulle dans le modele.

A+

Eric

jobherzt · April 2009

Leon > Merci pour ces references !

Eric> Merci pour ta reponse, mais je precise que je ne parlais pas de la symetrie SU(3) de couleur, qui si j'ai bien suivi est une symetrie de jauge, exacte, mais de l'utilisation de SU(3) par Gell Mann pour classifier les hadrons (qui, si je suis toujours bien, n'est pas une symetrie de jauge, et n'est qu'approximative)

En gros il place des particules sur les somets d'un genre d'octogone centré en l'origine, et d'autre à l'origine (d'ailleurs, quelle est l'interpretation de cet octogone du point de vue alg. de Lie ?). Il dit ok, ca c'est une representation de SU(3), donc je decide qu'il y a 3 quarks qui forme la base canonique de la representation fondamentale $(3)$, et 3 antiquarks qui forment celle de $(\bar{3})$. Et comme $(3) \otimes (\bar{3}) = (8) \oplus (1)$, je retrouve mon octet et mes particules à l'origine.. De là il deduit que telle particule est contituée de tel quark et tel antiquark, etc..

La je comprends deja moyen de quel type de symetrie il s'agit, et ce que sont les particules qui vivent dans $(1)$. Ensuite, le truc qui me choque pour identifier les particules avec des paires quarks/antiquarks, c'est que la decomposition ci dessus implique un changement de base, enfin en gros l'image de $u \otimes \bar{d}$ par exemple par la decomposition en somme directe n'a aucune raison de vivre dans $(8)$ ou dans $(1)$, mais a cheval sur les deux, donc je vois mal ce que signifie tout ca...

jobherzt · April 2009

Bon,en fait je n'ai pas les yeux en face des trous... À force de voir parler "d'octet", j'ai pensé que la representation graphique etait un octogone, et j'ai continué a le penser meme en ayant le dessin sous les yeux... La force de l'auto persuasion..

En realité les particules sont disposées aux sommets d'un hexagone, ce qui colle mieux avec l'idée que j'avais que cette representation graphique etait un systeme de racine, ou autrement dit les poids de la representation adjointe de $\mathfrak{sl}_3(\C)$.

Bref, on résume :

- La representation adjointe de $\mathfrak{sl}_3(\C)$ est caractérisée par ses 6 poids, qui forme les sommets de l'hexagone, auxquel on ajoute 0 qui forme un point double à l'origine ce qui nous fait bien 8 points (d'ou l'octet).
- les quarks et antiquarks sont des vecteurs de poids de la representation fondamentale et de sa conjuguée
- en prenant le produit tensoriel $(3) \otimes (\overline{3})$ on obtient :
-- 6 vecteurs de poids constitués d'un quark et d'un antiquark de type different, comme $u \otimes \bar{d}$, qui correspondent donc aux sommets de l'hexagone.
-- 3 vecteurs de poids constitués d'un quark et de son antiquark, comme $u \otimes \bar{u}$, qui forment un point triple à l'origine.

Donc les 6 premiers correspondent directement à des particules qui sont "vraiment" constituées d'un quark et d'un antiquark (enfin il y a plusieurs famille de particules qui peuvent etre représentée comme ca, mais admettons qu'on en fixe une)

En revanche, les 3 derniers ne corredpondent pas directement à des particules, mais dans notre famille il y a 3 particules qui peuvent etre associé à des combinaisons linéaires (i.e. des superpositions d'etats) de ces 3 vecteurs.

Reste à voir quelles sont ces 3 combinaisons lineaires, et laquelle correspond à la representation triviiale (et surtout "pourquoi" physiquement).. Je ne sais pas s'il y a un argument simple ou s'il faut que je ressorte mes tableaux de Young, enfin on va voir

Mais si quelqu'un a deja la reponse, je suis preneur.

Est ce que ca vous parait bon, tout ca ?

Merci encore, c'est vraiment plaisant de decouvrir tout ca.

Eric from sg · April 2009

Salut,

Desole de n'avoir pas repondu avant, je n'avait pas internet ce wee-end
depuis mon expatriatrion temporaire. Effectivement le groupe
de symmetrie dont tu parles n'a rien a voir avec le groupe de jauge
mais une symetrie approximative dite de "saveur" dont le but
est de modeliser les differentes particules en prenant en consideration
d'autres quarks que seulement le up et down qui constituent protons,
neutrons et pions.
Sauf qu'aujourd'hui le modele comprend 6 quarks, et la symetrie
SU(3) de Gell-Mann etait valable a l'epoque quand on connaissait
seulement 3 quarks, (up, down et strange), mais ne s'applique plus
a l'ensemble complet des 6 quarks.

Je t'avoue ne pas etre un specialiste de cette partie que j'appelle
zoologie des particules car les combinaisons de quarks
possibles sont extremement nombreuses. Tu pourras t'en rendre
compte en allant sur le site web du Particle data group qui
edite un petit bouquin appelle particle data booklet, veritable
bible des particules qui tient dans la poche et que tous les
experimentateurs en physique des particules ont:

http://pdg.lbl.gov/2008/listings/contents_listings.html

A+

eric

jobherzt · April 2009

Oui, effectivement je sais qu'on a maintenant 6 quarks, et j'ai lu qu'en fait Gell mann avait conscience de la différence de masse, donc cette symetrie ne la conserve pas vraiment, ou plutôt l'action de SU(3) qui remplace un quark u ou d par un s augmente la masse, ce qui a du le conduire a postuler que le quark s est plus lourd.

Mais je trouvais ce truc intéressant parce qu'il a mené à la découverte des quarks par des considérations de th des représentations, donc je trouve ça assez joli.

Ceci dit j'ai en partie trouvé la réponse, dans un papier ils disent que les particules qu'on obtient comme combinaison linéaire sont (de mémoire)
\begin{itemize}
\item $ \pi_0= \frac1{\sqrt{2}} (u \bar{u} - d \bar{d}) $
\item $ \eta= \frac1{\sqrt{6}} (u\bar{u} + d\bar{d} - 2 s\bar{s})$
\item $\eta'= \frac1{\sqrt{3}} (u\bar{u} + d\bar{d}+s\bar{s})$
\end{itemize}
Et c'est $\eta'$ qui vit dans la représentation triviale. Mais je ne vois pas trop par quoi sont guidés les choix de ces combinaisons en particulier.

Eric from sg · April 2009

Effectivement, latex2html s'est mélangé les pinceaux entre
ton post et un post de pappus du sujet "infos pour vecteurs plan",
sans doute postés quasi simultanément. Il faudra qu'on jette
un œil aux aspect transactionnel de la chose.

Pour tes coefs, ne sont-ce pas justement les coordonnées de tes
racines de l'algèbre su(3)?

a+

eric

ps: ma première tentative d'envoi a échoué mais je vois qu'Alain
a fait le ménage entre temps...
[Effectivement (:P) AD]

jobherzt · April 2009

Pour le bug, ca s'est produit apres que j'ai modifié mon message pour corriger une des formules, mais du coup les quatre ont bougées.

Eric> Qu'entends tu par les coordonnées des racines ? Pour moi sur le graphique on a les racines de $\mathfrak{sl}_3$ qui forment les sommets de l'hexagone, plus un point double en 0, qui caracterisent la representation adjointe qui est de dimension 8, et encore un point en 0 qui caracterise la representation triviale.

Quand on fait le produit tensoriel $(3) \otimes (\overline{3})$, on voit facilement "abstraitement', (avec les tableaux de Young ca prend 2 minutes) qu'on obtient bien une decomposition $(8) \oplus (1)$, mais reste à trouver une base de $(3) \otimes (\overline{3})$ (donc une base exprimée en fonction des tenseurs purs, i.e. des pairs quarks-antiquarks) qui rende explicite cette decomposition. Apparemment c'est le cas avec les vecteurs donnés ci dessus, mais je voulais savoir si leur choix avait été guidé par des considérations physiques, ou s'ils etaient "canoniques" d'un point de vue th des représentations.

jobherzt · April 2009

L'idée est toute simple, en fait, vu que $(\bar{3})$ est (en tant qu'espace vectoriel) le dual de $(3)$, on a un produit scalaire, cad une application linéaire de $(3) \otimes (\bar{3})$ dans $\C$, qui est un morphisme de $\mathfrak{sl}_3$-module. (En fait, en identifiant les éléments de $(3) \otimes (\bar{3})$ avec des matrice 3x3, cette application n'est rien d'autre que la trace).

Moralité : le noyau de cette application n'est rien d'autre que $(8)$. Du coup c'est evident que les paires quarks/antiquarks de saveurs différentes sont dans ce noyau, et ensuite pour former deux vecteurs du noyau avec des paires de meme saveur, les vecteurs donnés pour $\pi_0$ et $\eta$ sont des choix plutot naturels.

Eric from sg · April 2009

Re,
Comme je te vois hyper motive ;-) je ne peux
que te conseiller de trouver "group theory in physics" de JF Cornwell,
ce bouquin en 3 tomes (regroupe en 1 seul mais moins bien dans la derniere edition)
te donnera plus de precisions sur tout ca et d'un point de vue niveau
tu ne devrais pas avoir de probleme a le lire. Si jamais tu le trouves
dans une BU .... sinon au pire il est sur amazon.

A+

eric

Modèle standard et représentations des groupes.

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