anneau euclidien

Bonjour,

Soit $A$ un anneau euclidien tel que pour tout $x \in A$ non nul, pour tout $a \notin (x)$, la division euclidienne de $a$ par $x$ possède exactement deux restes. A-t-on $A$ isomorphe à $\mathbb{Z}$?

J'avoue n'avoir aucune idée de comment procéder. Je me suis demandé si $\mathbb{Z}$ ne vérifirait pas cette condition sans être isomorphe à $\mathbb{Z}$.


Merci par avance pour votre contribution.

Réponses

  • J'avoue ne pas comprendre la question.

    Pour moi un anneau euclidien c'est un couple (A,N) avec A un anneau et N un stathme sur A tel que...

    Quand on me parle de "l'anneau euclidien Z", je traduis (Z,|.|). De même pour les entiers de Gauss que je traduis (Z[k],|.|). Il se trouve qu'on a unicité du reste dans (Z,|.|), donc un (A,N) pour lequel on a toujours exactement deux reste (sauf quand le reste est nul) ne saurait être (Z,|.|).

    Dans (Z[k],|.|), il me semble qu'il peut y avoir de 1 à 4 restes.


    Quelles sont tes définitions ?


    PS : Arf, difficile d'esquiver l'interprêtation en bbcode avec le nouveau forum... Lire i à la place de k...
  • Oui bien sur, je n'ai pas été assez précis, un anneau euclidien est implicitement muni d'un stathme. Mais concernant les entiers de Gauss, avec pour stathme $|.|^2$, on n'a pas cette unicité. Par exemple, $1+i=0.(3i)+1+i=(1-i)*(3i)-2-2i$, donc deux restes distincts de la division euclidienne de $1+i$ par $3i$.

    Désolé, j'avais mal lu ton message. Dans $\mathbb{Z}$ il y a toujours deux restes distincts si ils sont non nuls.
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