différentielle sur un fermé

barzini
barzini
dans Analyse
Bonjour, j'ai un petit problème de définition de différentiabilité.
Je connait la définition dans le cas ou la fonction est définit sur un ouvert :

On dit que $f : \Omega \subset \mathbb R ^n \to \mathbb R^p$ est différentiable en $a \in \Omega$ si il existe $L: \mathbb R^n \to \mathbb R^p$ linéaire continue vérifiant :
\[ f(a+h)=f(a)+L(h) + o(h) \]
Dans ce cas $L$ est unique et est appelé la différentielle de $f$ en $a$.

Je sais que l'on peut définir la différentielle d'une fonction pas nécéssairement définie sur un ouvert, par exemple définie sur l'adhérence d'un ouvert ou plus généralement sur un fermé. On peut alors reprendre la définition de tout à l'heure mais le problème maintenant est que $L$ n'est plus unique. Par exemple si l'ensemble de définition est un sous espace.

Alors comment définir la différentielle de $f$ dans ce cas??

Merci.

Réponses

  • egoroff
    egoroff
    Salut,

    Beh comme tu l'as dit, il n'y a plus unicité, donc on ne peut définir "la" différentielle. On peut à la limite regarder la classe des différentielles, l'ensemble des applications $L$ qui conviennent.

    Dans le cas d'un sous-espace $F \subset \R^n$, on peut quand même définir une unique application linéaire de $F$ dans $\R^p$. Plus généralement si $f$ est définie sur une sous-variété $M \subset \R^n$, on peut définir la différentielle de $f$ en un point $p \in M$ comme une application linéaire définie sur l'espace tangent $T_p M$. Mais enfin dans tous les cas on se place en fait sur un ouvert, simplement c'est un ouvert d'un espace plus petit.
  • barzini
    barzini
    Mais j'ai déjà rencontré à maintes reprises la différentielle d'une fonction définie sur l'adhérence d'un ouvert alors comment était-elle définie au bord de cet ouvert?

    Merci
  • remarque
    remarque
    Sur l'adhérence d'un ouvert, de deux façons différentes. Soit par prolongement par continuité de la différentielle à l'intérieur, s'il existe, soit par restriction de la différentielle d'un prolongement différentiable de de ta fonction à un ouvert plus grand, s'il existe. Les deux ne coïncident pas en général. Mis à part cela, il me semble impossible de définir une notion de différentielle sur un fermé quelconque, par exemple un fermé d'intérieur vide.
  • barzini
    barzini
    Cela veut dire que l'on ne peut pas définir la différentielle de manière unique par exemple pour une fonction définie sur la boule unité fermé de $\mathbb R^2$.

    C'est bizarre quand même non??
  • remarque
    remarque
    Non. Dans le cas de la boule, les deux prolongements (s'ils existent) coïncident.
  • remarque
    remarque
    Je devrais préciser pour être plus clair que s'il existe un prolongement différentiable à un ouvert plus grand, alors sa différentielle redonne par restriction le prolongement de la différentielle à l'adhérence depuis l'intérieur, alors qu'il peut se faire que la différentielle se prolonge par continuité à l'adhérence sans qu'il existe un prolongement différentiable de la fonction à un ouvert plus grand. C'est une question de régularité des ouverts. La boule est régulière, quand on a un prolongement, on a aussi l'autre.
  • Mauricio4
    Mauricio4
    "Mis à part cela, il me semble impossible de définir une notion de différentielle sur un fermé quelconque, par exemple un fermé d'intérieur vide."
    Mon cher remarque, tu te trompes lourdement. Whitney a defini depuis belle lurette une notion de differentiabilité sur un fermé quelconque.
    M.
    PS: le probleme avec xfig est resolu j'ai envoye un post la-dessus ces derniers jours.
  • remarque
    remarque
    > Mon cher remarque, tu te trompes lourdement. Whitney a defini depuis belle lurette une notion de differentiabilité sur un fermé quelconque.

    Voilà qui est intéressant ! Peux-tu nous en dire plus ?

    PS. J'avais vu ton post sur xfig. Je suis content que ce soit résolu. C'est bizarre que tu aies eu le problème...
  • Mauricio4
    Mauricio4
    Je ne connais pas le travail de Whitney, je peux juste te donner un apperçu. Je crois que les résultats suivants sont vrais:
    1. tout fonction définie sur un fermé d'intérieur vide est la restriction d'une fonction C^\infini (appelée une extension)
    2. On peut definir la derivee en prenant une extension et en la derivant
    3. On a un analogue du theoreme de Borel-Ritt pour les fermes d'interieur vide:
    tout developpement asymptotique est obtenu a partir d'une fonction C^\infini.

    (Borel-Ritt: le fermé est un point et où l'on se donne non seulement la fonction mais tout le dévéloppement asymptotique.)

    Il y a beaucoup de textes elementaires.(peut-être même un vieux séminaire bourbaki)


    M.
  • remarque
    remarque
    > 2. On peut definir la derivee en prenant une extension et en la derivant

    Oui, mais la question alors est l'unicité. Je vais voir si je trouve des infos là-dessus (ça me dit vaguement quelque chose).
  • Mauricio4
    Mauricio4
    L'extension n'est pas unique mais prendre une extension, la dériver puis la restreindre, c'est unique. Pense au cas d'une série asymptotique par exemple 0.
    Tu l'étends en $e^{-1/x^2}$ puis tu la dérives et tu reprends la série asymptotique,
    tu obtiens à nouveau 0. Si tu connais la théorie Gevrey, on a un phénomène similaire
    (découvert par Gevrey), les classes Gevrey forment un $D$-module. De toute façon, je ne connais pas de travail de Whitney qui ne soit pas à la fois élémentaire et profond, j'imagine que celui-la ne fait pas exception...

    Bonne journée,
    Mauricio

    [La case LaTeX. :) AD]
  • barzini
    barzini
    A vrai dire, les seuls fois ou j'ai rencontré la différentielle d'une fonction définie sur un fermé, ce fermé était l'adhérence d'un ouvert. Alors peut être que pour ce type de fermé, l'unicité de la différentielle est vrai.
    Qu'en penser vous?
  • egoroff
    egoroff
    Je pense qu'il y de sérieux problèmes en point "cuspidal" (je ne sais pas si le terme est exact) par exemple en $(0,0)$, pour l'ouvert $U=\{ \, (x,y) \in (\R_+^*)^2 \, | \, \ln(1+x) < y < e^x - 1 \, \}$. La fonction nulle restreinte à $\overline{U}$ admet des différentielles non nulles en ce point ; toute forme linéaire s'annulant sur $\{x=y\}$ semble convenir.

    Mais le bord de l'ouvert est régulier, ou vérifie une condition du cône ou je ne sais quoi, ça doit marcher.
  • remarque
    remarque
    barzini écrivait:
    > A vrai dire, les seuls fois ou j'ai rencontré la
    > différentielle d'une fonction définie sur un
    > fermé, ce fermé était l'adhérence d'un ouvert.
    > Alors peut être que pour ce type de fermé,
    > l'unicité de la différentielle est vrai.
    > Qu'en penser vous?

    Il y a en fait deux problèmes : le tien qui est de savoir comment prolonger une fonction différentiable dans un ouvert à son adhérence en gardant une notion de prolongement des dérivées. Comme j'ai dit plus haut, il y a (au moins) deux façons de faire, qui coïncident quand les deux sont possibles, mais une qui est plus générale que l'autre suivant la régularité de l'ouvert.

    L'autre problème mentionné par Mauricio est de définir a priori ce qu'est une fonction différentiable (voire $C^\infty$) sur un fermé et de pouvoir la prolonger à un ouvert plus grand. C'est effectivement résolu par Whitney (voir
    \lien{http://eom.springer.de/W/w097830.htm}), mais c'est une autre affaire me semble-t-il.
  • barzini
    barzini
    Non ton contre exemple ne marche pas.
    Tu dis que toutes formes linéaires $L$ s'annulant sur l'ensemble $\{x=y\}$ est une différentielle i.e. vérifie :
    \[ \textrm{pour tout} \ h \in \overline U, \qquad L(h)=o(h) \]
    Mais il n'y a aucune forme linéaire vérifiant ça à part la forme linéaire nulle.
    Pour le voir il suffit d'écrire $L$ sous la forme :
    \[ L(h)=\alpha(h_1-h_2) \]
    et de regarder le quotient
    \[ \frac{\alpha(h_1-h_2)}{|h_1|+|h_2|} \]
    et de voir que ça a une limite que si $\alpha=0$.
  • egoroff
    egoroff
    Tu m'as mis le doute, mais il me semble que mon truc marche quand même ! As-tu dessiné $U$ ? Sauf erreur on peut montrer facilement que si $(x_n,y_n) \stackrel{\neq}{\to} 0$ dans $\overline{U}$ alors $x_n \sim y_n$ et par conséquent $x_n-y_n=o(||x_n,y_n||)$.
  • barzini
    barzini
    Egoroff, tu ne sembles pas d'accord avec mon argumentation. Pourtant j'ai tout revérifié et ça semble correct.
  • egoroff
    egoroff
    En effet, je ne suis pas d'accord :) Cela dit je peux très bien me tromper, ce ne serait pas la première fois, loin de là.

    Tu parles bien d'une limite selon $\overlne{U}$ ? Je suis curieux de voir ta preuve.
  • barzini
    barzini
    C'est vrai que pour montrer que le quotient n'a pas de limite dans $\overline U$ c'est un peu galère. J'ai essayer de prendre des suites mais pas sans résultat.
    Sinon tu as dit :
    "on peut montrer facilement que si $(x_n,y_n) \stackrel{\neq}{\to} 0$ dans $\overline{U}$ alors $x_n \sim y_n$ "
    Peut etre peut tu dire comment tu fais ça.
  • egoroff
    egoroff
    OK. On a $\overline{U}=\{ \, (x,y) \in \R_+^2 \, | \, \ln(1+x) \leq y \leq e^x - 1 \, \}$, donc j'ai une suite de réels $x_n>0$ qui tend vers $0$, et une suite $y_n$ qui vérifie $\ln(1+x_n) \leq y_n \leq e^{x_n}-1$, comme les deux termes extrêmes sont $\sim x_n$, c'est aussi le cas de $y_n$.
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