Cette suite tend bien vers zéro ?

Bonjour(soir),
S'il vous plaît, les modérateurs, pour éviter d'ouvrir un nouveau post, pouvez-vous effacer les trois premiers messages ? Je vous en saurais gré ! J'aimerais que Gérard, le prof de maths en DUT me réponde car il a répondu à un fil sur ce sujet précédemment ouvert, mais, sans que je puisse y poster, les notations étant différentes. Autre chose (importante) $x>4$, $y>4$ et sont des entiers dans mon problème. C'est donc un problème de théorie des nombres contrairement aux apparences. Ce problème fait partie d'un article (publié) dans lequel je démontre avec des séries que $xy(x-y)=0$. C'est donc une démonstration originale. Merci pour votre compréhension !

Bon(soir)jour,
merci, Gérard. J'ai ouvert un nouveau post car celui-ci contient trop d'erreurs. Je te sais gré de me répondre malgré cela. Donc si $a$ tend vers $1$ et $b$ vers l'infini, on ne peut pas en déduire que $a^b$ tend vers $1$, si j'ai bien compris. En fait, c'était cela ma question. On peut faire anstraction des suites et de leurs expressions. Si ce n'est pas abuser de ta gentillesse, peux-tu me donner un exemple simple, car je sais que $0$ que multiplie l'infini est indéterminé, est-ce lié à cette indétermination ? En effet avec $c$ et $b$, si $c$ tend vers $0$ et $b$ vers l'infini, alors : $e^{jc}=\cos{(c)}+j\sin{(c)}$ tend vers $1$. Et si $e^{j{c^b}}=(e^{jc})^b$ tend vers $1$, alors $c^b$ tendrait vers $1$, ce qui serait impossible, car alors $O^{\infty}$ serait égal à $1$. Ce qui est absurde, c'est ça ?

Salut, bisam ! Merci pour l'exemple ! J'avais compris seul l'absurdité de la démo, mais, avec ton contre-exemple, c'est plus clair ! Merci beaucoup !

Bonjour(soir),
C'est pour ne pas surcharger inutilement ce post que je suis succint. En fait, ici, un développement limité permet de conclure. Voilà ce que ça donne :
$$\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(\cos{(x_i)}+j\sin{(x_i)})}=\cos{(x-y)}+j\sin{(x-y)}$$
$$=\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{((\cos{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})}+j\sin{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})})^{x^{2^{i-2}}})}=1^{\infty}=1$$
$$\Rightarrow{\cos{(x-y)}+j\sin{(x-y)}=1}\Rightarrow{x-y=0}$$
effectivement un development limité donne
$$\cos{(x-y)}+j\sin{(x-y)}=(\cos{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})}+j\sin{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})})^{x^{2^{i-2}}}$$
$$=(1-\frac{1}{2}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^2+j\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}-\frac{j}{6}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^3+O((\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^3)))^{x^{2^{i-2}}}$$
$$=1+jx^{2^{i-2}}\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}+O(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})$$
comme
$$x^{2^{i-2}}\frac{1}{2}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^2\longrightarrow{0}$$
and
$$x^{2^{i-2}}\frac{1}{6}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^3\longrightarrow{0}$$
à l'infini, cela donne
$$\cos{(x-y)}+j\sin{(x-y)}=1+j(x-y)+O(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})$$
$$\Rightarrow{x-y=0}$$
Qu'en pensez-vous ?

Salut,
Tu avais tout à fait raison, bisam, àa ne tend pas vers $1$. En effet :
$$\cos{(x_i)}+j\sin{(x_i)}=e^{jx_i}=e^{jx_{i-1}\frac{x^{2^{i-2}}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}}$$
$$=(e^{j\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}})^{x^{2^{i-2}}}$$
$$=(\cos{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})}+j\sin{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})})^{x^{2^{i-2}}}$$
par approximation
$$\cos{(x_i)}+j\sin{(x_i)}=(\cos{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})}+j\sin{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})})^{x^{2^{i-2}}}$$
$$\approx{(1-\frac{1}{2}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^2+j\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}-\frac{j}{6}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^3)^{x^{2^{i-2}}}}$$
$$\approx{1-\frac{1}{2}x^{2^{i-2}}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^2+jx^{2^{i-2}}\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}-\frac{j}{6}x^{2^{i-2}}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^3}$$
$$\Rightarrow{\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(\cos{(x_i)}+j\sin{(x_i)})}=\cos{(x-y)}+j\sin{(x-y)}}$$
$$=\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(1-\frac{1}{2}x^{2^{i-2}}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^2+jx^{2^{i-2}}\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}-\frac{j}{6}x^{2^{i-2}}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^3)}=1+j(x-y)$$
$$\Rightarrow{\cos{(x-y)}+j\sin{(x-y)}=1+j(x-y)}$$
puisque
$$\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(x^{2^{i-2}}\frac{1}{2}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^2)}=0$$
et
$$\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(x^{2^{i-2}}\frac{1}{6}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^3)}=0$$
ce qui permet d'écrire
$$\cos{(x-y)}+j\sin{(x-y)}=1+j(x-y)\Rightarrow{x-y=0}$$
La limite est $1+j(x-y)$ et non pas $1$. Et, Gérard, ça fait bien presque 30 ans que je n'ai pas touché aux développements limités. Mais, je rouvre mes livres de Math-Sup et Math-Spé. Il n'y a plus de doute, ce que j'ai écrit est correct, qu'en pensez-vous ?

Salut ! Je corrige encore une fois :
$$\cos{(x_i)}+j\sin{(x_i)}=e^{jx_i}=e^{jx_{i-1}\frac{x^{2^{i-2}}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}}$$
$$=(e^{j\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}})^{x^{2^{i-2}}}$$
$$=(\cos{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})}+j\sin{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})})^{x^{2^{i-2}}}$$
et par approximation
$$\cos{(x_i)}+j\sin{(x_i)}=(\cos{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})}+j\sin{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})})^{x^{2^{i-2}}}$$
$$\approx{(1-\frac{1}{2}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^2+j\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}-\frac{j}{6}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^3)^{x^{2^{i-2}}}}$$
$$\approx{1-\frac{1}{2}x^{2^{i-2}}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^2}$$
$$+\frac{x^{2^{-2}}(x^{2^{i-2}}-1)}{2}(j\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^2+jx^{2^{i-2}}\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}-\frac{j}{6}x^{2^{i-2}}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^3$$
$$\Rightarrow{\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(\cos{(x_i)}+j\sin{(x_i)})}=\cos{(x-y)}+j\sin{(x-y)}}$$
$$=\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(1-\frac{1}{2}x^{2^{i-2}}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^2)}$$
$$-\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(\frac{x^{2^{-2}}(x^{2^{i-2}}-1)}{2}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^{2}+jx^{2^{i-2}}\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}-\frac{j}{6}x^{2^{i-2}}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^3)}$$
$$=1-\frac{(x-y)^2}{2}+j(x-y)$$
$$\Rightarrow{\cos{(x-y)}+j\sin{(x-y)}=1-\frac{(x-y)^2}{2}+j(x-y)}$$
car
$$\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(x^{2^{i-2}}\frac{1}{2}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^2)}=0$$
et
$$\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(x^{2^{i-2}}\frac{1}{6}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^3)}=0$$
donc
$$\cos{(x-y)}+j\sin{(x-y)}=1-\frac{(x-y)^2}{2}+j(x-y)$$
$$\Rightarrow{\cos{(x-y)}^2+\sin{(x-y)}^2=1}$$
$$\Rightarrow{1+\frac{(x-y)^4}{4}-(x-y)^2+(x-y)^2=1}$$
$$\Rightarrow{\frac{(x-y)^4}{4}=0}\Rightarrow{x-y=0}$$
Ce que je voulais démontrer !

Salut ! Voilà le résultat de mes investigatioons !
avec $j^2=-1$
$$\cos{(x_i)}+j\sin{(x_i)}=e^{jx_i}=e^{jx_{i-1}\frac{x^{2^{i-2}}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}}$$
$$=(e^{j\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}})^{x^{2^{i-2}}}$$
$$=(\cos{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})}+j\sin{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})})^{x^{2^{i-2}}}$$
par approximation
$$\cos{(x_i)}+j\sin{(x_i)}=(\cos{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})}+j\sin{(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})})^{x^{2^{i-2}}}$$
$$\approx{(1-\frac{1}{2}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^2+j\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}-\frac{j}{6}(\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^3)^{x^{2^{i-2}}}}$$
$$\approx{(1+j\frac{x_{i-1}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}})^{x^{2^{i-2}}}}$$
$$\approx{(1-\frac{x_{i-1}^2}{2!}\frac{x^{2^{i-2}}(x^{2^{i-2}}-1)}{(x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}})^2}+\sum_{k=4}^{k={\infty}}{(\frac{x_{i-1}^k}{k!}\frac{x^{2^{i-2}}(x^{2^{i-2}}-1)...(x^{2^{i-2}}-k+1)}{(x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}})^k})})}$$
$$+j(x_{i-1}\frac{x^{2^{i-2}}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}-\frac{x_{i-1}^3}{3!}\frac{x^{2^{i-2}}(x^{2^{i-2}}-1)(x^{2^{i-2}}-2)}{(x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}})^3})$$
$$\approx{(1-\frac{x_{i-1}^2}{2!}\frac{x^{2^{i-2}}(x^{2^{i-2}}-1)}{(x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}})^2}+\sum_{k=4}^{k={x^{2^{i-2}}}}{(\frac{x_{i-1}^k}{k!}\frac{x^{2^{i-2}}(x^{2^{i-2}}-1)...(x^{2^{i-2}}-k+1)}{(x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}})^k})})}$$
$$+j(x_{i-1}\frac{x^{2^{i-2}}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}-\frac{x_{i-1}^3}{3!}\frac{x^{2^{i-2}}(x^{2^{i-2}}-1)(x^{2^{i-2}}-2)}{(x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}})^3})$$
$$\Rightarrow{\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(\cos{(x_i)}+j\sin{(x_i)})}=\cos{(x-y)}+j\sin{(x-y)}}$$
$$=\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{((1-\frac{x_{i-1}^2}{2!}\frac{x^{2^{i-2}}(x^{2^{i-2}}-1)}{(x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}})^2}+\sum_{k=4}^{k={x^{2^{i-2}}-1}}{(\frac{x_{i-1}^k}{k!}\frac{x^{2^{i-2}}(x^{2^{i-2}}-1)...(x^{2^{i-2}}-k+1)}{(x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}})^k})}))}$$
$$+j\lim_{i\longrightarrow{\infty}}{(x_{i-1}\frac{x^{2^{i-2}}}{x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}}}-\frac{x_{i-1}^3}{3!}\frac{x^{2^{i-2}}(x^{2^{i-2}}-1)(x^{2^{i-2}}-2)}{(x^{2^{i-2}}+y^{2^{i-2}})^3})}$$
$$=1-\frac{(x-y)^2}{2!}+\sum_{k=4}^{k={\infty}}{(\frac{(x-y)^k}{k!})}+j(x-y)(1-\frac{(x-y)^2}{3!})$$
$$=-2\frac{(x-y)^2}{2!}-(x-y)-\frac{(x-y)^3}{3!}+\sum_{k=0}^{k={\infty}}{(\frac{(x-y)^k}{k!})}+j(x-y)(1-\frac{(x-y)^2}{3!})$$
$$=-2\frac{(x-y)^2}{2!}-(x-y)-\frac{(x-y)^3}{3!}+e^{x-y}+j(x-y)(1-\frac{(x-y)^2}{3!})$$
$$\Rightarrow{\cos{(x-y)}=1-\frac{(x-y)^2}{2!}+\sum_{k=4}^{k={\infty}}{(\frac{(x-y)^k}{k!})},\quad\quad{\sin{(x-y)}=(x-y)(1-\frac{(x-y)^2}{3!})}}$$
$$\cos{(x-y)}=-(x-y)-2\frac{(x-y)^2}{2!}-\frac{(x-y)^3}{3!}+e^{x-y}=\frac{e^{j(x-y)}+e^{-j(x-y)}}{2}$$
$$\sin{(x-y)}=(x-y)(1-\frac{(x-y)^2}{3!})$$
or
$$\cos{(x-y)}^2+\sin{(x-y)}^2=1$$
$$=1+(-\frac{(x-y)^2}{2!}+\sum_{k=4}^{k={\infty}}{(\frac{(x-y)^k}{k!})})^2$$
$$+2(-\frac{(x-y)^2}{2!}+\sum_{k=4}^{k={\infty}}{(\frac{(x-y)^k}{k!})})+(x-y)^2(1-\frac{(x-y)^2}{6})^2$$
$$\Rightarrow{(-\frac{(x-y)^2}{2!}+\sum_{k=4}^{k={\infty}}{(\frac{(x-y)^k}{k!})})(-\frac{(x-y)^2}{2!}+\sum_{k=4}^{k={\infty}}{(\frac{(x-y)^k}{k!})}+2)+(x-y)^4(1-\frac{(x-y)^2}{6})=0}$$
$$\Rightarrow{x-y=0}$$
n'est-ce pas une belle démo ?