Topologie sur l'ensemble des fonctions méromorphes

Ksilver · February 2009

Bonsoir !

Je me demandais ce qu'on pouvait mettre comme topologie sur l'ensemble des fonctions méromorphes (disons sur D), essentiellement : y a-t-il une topologie qui en fait un corps topologique complet, et tel que la topologie induite sur l'ensemble des fonctions holomorphes soit la topologie compact-ouverte.

J'avais pensé voir K (le corps des fonctions méromorphes) comme le corps des fractions de H (l'anneau des fonctions holomorphes) et donc K est un quotient de H * (H-{0}), on peut donc le munir de la topologie quotient en mettant la topologie produit sur H * (H-{0}).

Mais pour une raison qui m'échappe je n'arrive pas à comprendre qu'elle est la topologie qu'on obtient ainsi (je n'arrive pas à d'écrire les voisinages de 0, ni à dire si c'est complet ou encore si H->K est un homéomorphisme)

Pouvez-vous m'aider ?

Mauricio4 · February 2009

Salut,
c'est quoi une fonction méromorphe sur D? (D est bien le disque ouvert de rayon 1 centré en l'origine).
M.

Ksilver · February 2009

Salut !

euh oui D est bien le disque unité de C.

et une fonction méromorphe sur D c'est par exemple une fonction holomorphe de D dans la sphère de riemann P1(C) (non constanté egal à l'infini) ou encore un quotient de deux fonction holomorphe, ou encore une fonction qui est holomorphe sur D sauf sur un ensemble fermé et discret (fermé dans D) de point ou elle admet des poles.

Mauricio4 · February 2009

Et si tu prends le quotient dont tu parles, que peut-on dire des suites $1/nz$
et $1/z^n$?
L'approche classique est de fixer un diviseur auquel cas tu as une belle structure
d'evt.
M.

Ksilver · February 2009

euh...

la suite 1/nz tend vers 0 tous simplement parcequ'on est dans une algèbre topologique. (1/nz = (1/z)/n )

ba la suite z^n tend vers 0 pour la topologie compact-ouvert dans l'anneau des fonctions holomorphe, donc si je ne me trompe pas je dirais que la suite 1/z^n diverge dans le quotient... mais j'arrive pas à m'en convaincre totalement

Ksilver · February 2009

Et si je comprend bien ton idée de "fixé un diviseur" je pense que ca ne marche pas : on est sur un corps topologique, donc comme (X-a) -> X quand a->0, il faut que 1/(X-a) -> 1/x quand a->0, et les diviseurs sont pas du tous fixé à partir d'un certain rang...

Mauricio4 · February 2009

Fixer un diviseur ça veut dire fixer une somme formelle $\sum n_i p_i$ et de ne considérer que les fonctions qui ont un pôle au plus d'ordre $n_i$ au point $p_i$. C'est l'approche classique.
Un peu moins classique, mais faisable est de fixer les points $p_i$ et de faire tendre les $n_i$ vers l'infini.
Tu peux aussi prendre la limite directe en faisant varier les $p_i$, mais je ne pense pas que tu obtiennes un espace complet.

M.

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