géométrie synthétique ?

Jean-Louis Ayme est un des grands spécialistes des démonstrations "synthétiques".
Dans la section "A propos" sur son site personnel, tu devrais trouver quelques éléments de réponses
http://pagesperso-orange.fr/jl.ayme/index.html

oui, Jean-Louis!
J'apprécie beaucoup la géométrie "synthétique" et tes superbes démonstrations sans négliger pour autant les autres outils analytiques.
Prends le théorème de Pascal, par exemple, il en existe des tas de démonstrations "synthétiques" peu connues d'ailleurs du grand public, dont certaines étaient parfaitement compréhensibles par un élève de Terminales autrefois, disposant du théorème de Ménélaüs ou de la théorie des axes radicaux mais le vrai principe unificateur de toutes ces preuves, c'est le groupe des homographies d'une conique qui me semble assez difficile à expliquer de façon synthétique.
Il faut se farcir au préalable la construction du plan projectif suivie de celle de la conique projective. Il y a quand même quelques calculs à faire, même si ça ne dépasse pas le second degré!

Ce que j'aime dans une configuration géométrique, c'est de la voir entourée de toutes ces preuves synthétiques ou non.

Enfin un petit détail sémantique: Est-ce que la géométrie synthétique est aussi le nom qu'on donnait autrefois à la géométrie "pure"?

A tout hasard, j'ai regardé dans Wikipédia ce qu'on disait sur ce sujet et il semblerait, mon cher samok, que la géométrie synthétique devienne une branche de la géométrie!
Amicalement
Pappus
PS
Quel était le livre que tu avais en 65?
Le Lebossé-Hémery aurait-il survécu jusqu'à cette date?
Pour moi, le meilleur livre de Terminales fut celui de Ballicionni et Robert paru chez Eyrolles mais j'ai l'impression qu'il ne connut pas hélas un grand succès.
D'autres livres marquèrent l'enseignement de la Géométrie comme le livre de Rouché Comberousse ou celui d'Hadamard ou encore l'ouvrage de Lebesgue lui-même sur les coniques.

Bonjour.

pappus a écrit : a écrit:

Il faut se farcir au préalable la construction du plan projectif suivie de celle de la conique projective. Il y a quand même quelques calculs à faire, même si ça ne dépasse pas le second degré!

Je trouve cet argument de mauvaise foi car c'est un reproche que l'on peut faire à tout développement mathématique. Certes la géométrie synthétique repose fortement sur la structuration des connaissances ; mais à vouloir éviter ce problème on est arrivé à un enseignement des mathématiques privé de géométrie et d'une grande vacuité conceptuelle.

Bruno

Pour les logiciels de géométrie dynamique, leur gros problème est que la figure électronique suffit comme preuve pour les élèves. Et le fait que ce soit toujours vérifié pour une figure dynamique risque de les enferrer dans leur erreur.
Il y a de plus un problème d’usage légal et de système d’exploitation : certains logiciels sont payants, et ne tournent que sur certains systèmes.

Mon cher Nicolas
Tu as raison de soulever ces problèmes.
Mais maintenant, il y a des logiciels libres de géométrie dynamique
et quant aux autres comme Cabri ou GSP, il aura toujours une réponse légale pour peu qu'on veuille bien la trouver.
Je pensais surtout à la formation des maîtres et non à celle des élèves et donc la question de l'erreur ne se pose pas à leur niveau ou alors c'est à désespérer de tout!
Très amicalement
Pappus

Bonjour,
Pour Pappus
J'ignore ce qu'est une "collinéation"
Au temps de ma terminale (en 1960) je 'ai jamais rencontré ce terme. Je suis loin d'être agrégé et mon cerveau a sans doute progressé vers la sénescence.
Quelqu'un peut-il m'éclairer ?
Merci d'avance

Une collinéation est le terme moderne pour désigner une transformation projective du plan projectif (sous-entendu réel).
Elle transforme les droites en droites et conserve le birapport de 4 points alignés ou de 4 droites concourantes.
Si on considère le plan affine $\mathbb K^2$, (sous-entendu réel) , complété projectivement en lui rajoutant la droite de l'infini, une telle transformation s'écrit:
$X = \dfrac{ax+by+c}{a"x+b"y+c"}$
$Y = \dfrac{a'x+b'y+c'}{a"x+b"y+c"}$
avec la condition supplémentaire:
$\begin{pmatrix}
a&b&c\\
a'&b'&c'\\
a"&b"&c"
\end{pmatrix}\ne 0$
Dans le jargon de la théorie des variétés, il existe des cartes dites affines du plan projectif $\mathbb P_2(\mathbb K)$ dans lesquelles toute transformation projective s'écrit de la façon ci-dessus.
Très amicalement
Pappus

Je viens de regarder le programme de l'agrégation externe.
En géométrie projective, seule subsiste la droite projective avec en particulier $\mathbb P_1(\mathbb R)$ et $\mathbb P_1(\mathbb C)$ c'est à dire finalement l'étude des homographies $ x \mapsto \dfrac{ax+b}{cx+d}$.
Comme l'étude de ces fonctions doit sans doute commencer en classe de Seconde, il faut avouer que cela n'est pas très folichon et qu'on ne prend guère de risques envers la santé des neurones de nos futurs agrégés!
Il faut noter cependant que le dit programme a soit disant un chapitre qui s'intitule glorieusement Groupes et Géométrie.
Je viens de feuilleter le beau livre de Perrin: Cours d'Algèbre, publié dans la collection Ellipses.
Ayant absolument besoin du groupe projectif linéaire $PGL(E)$ et ne pouvant définir ce groupe comme groupe de transformation du moindre espace projectif puisque la définition n'est plus au programme, il est obligé de définir $PGL(E)$ comme quotient de $GL(E)$ par son centre!
Et le tour est joué! Finie la géométrie projective dont il ne reste plus que le groupe désincarné!
On pourrait se consoler en se disant qu'avec $\mathbb P_1(\mathbb C)$ , on peut faire encore de la géométrie intéressante mais ce n'est qu'une illusion car les membres du jury en connaissent autant que les candidats sur ce sujet c'est à dire rien du tout!
Amicalement
Pappus

Pappus, tu ne réponds pas à ma petit moquerie.

Je ne parlais pas du programme de l'agrégation. Je ne parlais pas non plus du Perrin, qui est un excellent cours d'algèbre et pas un cours de géométrie. Je parlais de livres de géométrie qui contiennent chacun un traitement respectable de la géométrie projective. Chez Berger par exemple on trouve des morphismes d'espaces projectifs, et des isomorphismes ou homographies. Pas trace de collinéation dans l'index. D'où sors-tu que "collinéation est le terme moderne pour désigner une transformation projective du plan projectif" ?

Par ailleurs quand tu affirmes qu' "on pourrait se consoler en se disant qu'avec P₁(C) , on peut faire encore de la géométrie intéressante mais ce n'est qu'une illusion car les membres du jury en connaissent autant que les candidats sur ce sujet c'est à dire rien du tout!", tu me fais doucement rigoler! On a parfaitement le droit de penser qu'il est regrettable que le programme de l'agrégation et la liste des leçons aient été amputés d'une bonne partie de la géométrie; sur ce point, je serais assez d'accord. Mais je trouve ton mépris et ta condescendance assez peu sympathiques, pour tout dire. Je précise que je ne suis pas membre du jury!

Cordialement.

Pour Pappus,
Je n'avais pas vu ton PS... J'avais le Lespinard et Pernet en 65. Je me suis acheté le Lebossé Hémery beaucoup beaucoup plus tard.
Amicalement.
Jean-Louis.

Bonjour,

Pour Coxeter, dans le chapitre "Projectice geometry": a collineation is a transformation (of the plane) which transforms collinear points into collinear points.

Amicalement.

Au sens de la définition de Coxeter, il y a donc des collinéations du plan projectif complexe qui ne sont pas des homographies.

Zo! a écrit:

Pappus, tu ne réponds pas à ma petit moquerie.

Je ne parlais pas du programme de l'agrégation. Je ne parlais pas non plus du Perrin, qui est un excellent cours d'algèbre et pas un cours de géométrie. Je parlais de livres de géométrie qui contiennent chacun un traitement respectable de la géométrie projective. Chez Berger par exemple on trouve des morphismes d'espaces projectifs, et des isomorphismes ou homographies. Pas trace de
collinéation dans l'index. D'où sors-tu que "collinéation est le terme moderne pour désigner une transformation projective du plan projectif" ?

Par ailleurs quand tu affirmes qu' "on pourrait se consoler en se disant qu'avec P1(C) , on peut faire encore de la géométrie intéressante mais ce
n'est qu'une illusion car les membres du jury en connaissent autant que les candidats sur ce sujet c'est à dire rien du tout !", tu me fais doucement rigoler ! On a parfaitement le droit de penser qu'il est regrettable que le programme de
l'agrégation et la liste des leçons aient été amputés d'une bonne partie de la géométrie ; sur ce point, je serais assez d'accord. Mais je trouve ton mépris et ta condescendance assez peu sympathiques, pour tout dire.
Je précise que je ne suis pas membre du jury !
Cordialement.

Excuse moi , mon cher Zo, d'avoir offensé les membres de cette honorable corporation dont, comme toi, je n'ai jamais fait partie et dont je supposais seulement que leurs compétences en géométrie circulaire étaient à la mesure de ce qu'ils avaient eux-mêmes appris quand ils avaient passé ce concours!
Je retire donc ce que j'ai dit, emporté que j'étais par mon dépit de voir la géométrie, réduite à la portion congrue à l'agrégation de Math.


Je me suis expliqué dans un autre message de ma confusion entre collinéations et transformations projectives car en fait, je ne pensais qu'au corps des réels, l'exo que je citais sur les points focaux se passant dans un plan euclidien.
Je retire d'ailleurs ce que j'ai dit dans ce fil sur les similitudes indirectes, elles sont effectivement au programme de l'agrégation externe.

Je m'efforce ici sur ce forum de géométrie de proposer des problèmes susceptibles d'intéresser les candidats à l'agrégation comme par exemple, celui de la construction des points fixes d'une transformation affine plane mais je comprends que les éventuels agrégatifs qui ont encore le temps de voyager sur ce site préfèrent fréquenter les forums d'Algèbre ou d'Analyse car ils savent bien où est leur intérêt et ils ont raison, (les bougres !).

Très amicalement
Pappus

La question a été transférée à : <http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,493621,493621#msg-493621&gt;