Matrice diagonale et Géométrie Projective

On est dans le plan affine réel $\mathcal P$, complété projectivement en lui rajoutant la droite de l'infini.
On se fixe un triangle $ABC$. Un point $M$ du plan est repéré par ses coordonnées barycentriques homogènes $(x, y, z)$ c'est à dire que le repère projectif dans lequel on travaille est $(A, B, C, G)$, autrement dit le point unité de ce repère n'est autre que le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$.
Comment s'écrit une transformation projective $f$ dans un tel repère?
Au point $M$ de coordonnées barycentriques homogènes $(x, y, z)$, elle fait correspondre le point $M'$ de coordonnées barycentriques homogènes $ (x', y', z')$ tel que:
$x' = a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z$
$y' = a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z$
$z' = a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z$
Autrement dit, on a: $X' = A.X$ où
$A= \begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{pmatrix}
$\quad et $X= \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ \quad et $X'= \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$
On voit que la matrice $\lambda.A$ où $\lambda \in \mathbb R^*$ définit la même application $f$, c'est pourquoi nos anciens n'hésitaient pas à écrire: $f = \lambda.A$.
Depuis, Bourbaki est passé par là et nous a bien heureusement abreuvé de structures quotients pour mettre fin à cette hérésie.
Quoiqu'il en soit, on voit immédiatement que la recherche des points fixes de $f$ revient à chercher les vecteurs propres de $A$ c'est à dire à diagonaliser $A$.
Par exemple si $A$ possède 3 valeurs propres distinctes, alors $f$ a 3 points fixes.
Je vous laisse méditer sur les cas où $A$ possède des valeurs propres multiples et je vous renvoie à l'excellent livre de J-C Sidler: Géométrie projective, publié chez InterEditions, pour compléter vos connaissances sur ce sujet.
Evidemment une transformation projective opère sur l'ensemble $\mathcal D$ des droites du plan (complété).
En particulier, il existe une droite $L$ telle que $f(L) = D_{\infty}$ et une droite $L'$ telle que $f(D_{\infty}) = L'$ où $D_{\infty}$ est la droite de l'infini d'équation:$x+y+z = 0$.
Je ne sais trop comment on appelait autrefois ces droites et je les nommerai $L$ droite-limite objet et $L'$ droite-limite image.
Maintenant je m'intéresse aux transformations projectives fixant $A, B, C$. Elles forment un sous-groupe $\Gamma$ du groupe projectif et elles s'écrivent dans le repère projectif $\{A, B, C, G\}$:
$f = \lambda.\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c \end{pmatrix}$
Leurs matrices sont évidemment diagonales. Il en résulte que $\Gamma$ est un groupe commutatif, ce qui n'était pas évident a priori.
Maintenant $f\in \Gamma$ a deux droites limites notées $L_f$ et $L'_f$.
On obtient ainsi une application:
$\theta:\Gamma \longrightarrow \mathcal D \times \mathcal D;\quad f \mapsto (L_f, L'_f)$.
1° Montrer que les droites $L_f$ et $L'_f$ sont des transversales isotomiques par rapport au triangle $ABC$.
2° Réciproquement, étant donnés deux transversales isotomiques $L$ et $L'$ par rapport au triangle $ABC$, montrer qu'il existe une unique transformation projective $f\in \Gamma$ telle que $L_f = L$ et $L'_f = L'$ et donner une construction de l'image $M' =f(M)$ d'un point quelconque $M$ du plan.
3° Déterminer l'image de $\theta$, notée $\mathrm{Im}(\theta)$.
2° Soit $\Gamma' = \{f \in \Gamma; \ L_f = L'_f\}$
Montrer que $\Gamma'$ est un sous-groupe fini de $\Gamma$ et déterminer sa structure. Donner une construction simple de l'orbite d'un point sous l'action de $\Gamma'$.
Amicalement
Pappus