De la topologie pour les meilleurs

D'abord, félicitations pour cet achat. C'est le grand Aleg qui m'avait conseillé de faire l'acquisition de ce livre et je dois dire que je n'ai vraiment pas été déçu.

Ensuite, pour l'explicitation des valeurs d'adhérence (ou du moins d'une valeur d'adhérence) de α_n, je ne veux pas de dire non trop vite, mais ne compte pas sur moi pour chercher, parce que, a priori, il est très probable qu'on ne puisse pas en expliciter. Pour le dire autrement : toutes les suites de E ont des valeurs d'adhérence, mais très peu on des valeurs d'adhérence explicitables (c'est le cas de ta "bosse glissante rapetissante", et si ça se trouve c'est aussi le cas de α_n, mais je n'ai aucune bonne raison de le penser).

Pourquoi ? Il faut bien comprendre que Tychonov, c'est Zorn, et que Zorn, c'est la machine à construire des gens qui n'existent pas. Etant donné un recouvrement ouvert de E, c'est l'axiome du choix qui t'extrait par magie un sous-recouvrement fini (sauf bien sûr pour certains recouvrements bien choisis). Etant donnée une suite à valeur dans E, c'est l'axiome du choix qui te produit les valeurs d'adhérence (sauf bien sûr pour certaines suites bien choisies).

Tout dépend maintenant de ce que tu appelles "exhiber". Je ne vois aucune raison de dire que "la valeur résultant de l'application de l'axiome du choix" ne serait pas une "exhibition" honnête. En même temps, ça n'est pas hyper-satisfaisant.

En résumé, de deux choses l'une :
1) ou bien on peut effectivement exhiber une valeur d'adhérence de α_n "à la main", sans axiome du choix. C'est possible, mais je n'ai aucune raison a priori de le penser, je pencherais même plutôt pour l'autre possibilité.
2) ou bien on ne peut pas. C'est probable, mais le problème c'est que dans ce cas ce sera extrèmement difficile à prouver (il faudra exhiber un modèle de ZF ne satisfaisant pas l'axiome du choix pour lequel notre suite n'a pas de valeur d'adhérence : l'enfer sur terre).


PS : une démo que Borel-Lebesgue implique "toute suite a une valeur d'adhérence" ici. Que dire de la réciproque ?

Merci beaucoup pour ta réponse LBR, c'est bien ce que je pensais mais j'en étais tellement sûre (ironie) qu'il fallait que quelqu'un me le dise ... Et puis ta réponse étant tellement claire et bien construite, que de suite, on en est convaincu...

Merci encore @+

Salut,

n'est-il pas plus simple de se rappeler qu'une valeur d'adhérence n'est limite d'une sous-suite que s'il y a une topologie métrisable?
Je ne suis pas sûr qu'une totpologie produit "à la Tychonoff" dans le contre-exemple ci-dessus soit métrisable.

Je crois qu'il s'entend que le théorème de Tychonoff ne peut produire que des horreurs dans le genre ci-dessus et qu'il serait bon de se limiter à la topologie d'espaces métrisables.

Cordialement,

F.D.

Il serait intéressant de regarder ce qui merde dans les démonstrations que l'on trouve dans tous les bouquins. Quelqu'un a une idée ?

M'enfin !!! Je n'ai de cesse d'éditer mon code $\LaTeX$ mais le forum ne veut rien savoir.

Lire $ E_n =\overline{\{u_m, m > n\}}$, oeuf corse.

[Evidemment, il a suffi que je poste ce message pour que la correction se fasse comme par magie dans le message précédent. J'en déduis que le forum est d'une humeur farceuse aujourd'hui. ]

[LBR, n'oublie pas de faire "Actualiser" dans ton navigateur (ou mieux avec Firefox : Ctrl+Maj+R) AD]

Juste pour vous éviter de vous fatiguer, je viens de trouver 3 fils qui complètent ma réponse. Merci à tous (car vous y avez tous déjà particpé, lol)

F.D.

Salut,

je tournerai 7 fois mes pouces sur le clavier avant d'écrire une nouvelle ânerie
je tournerai 7 fois mes pouces sur le clavier avant d'écrire une nouvelle ânerie
je tournerai 7 fois mes pouces sur le clavier avant d'écrire une nouvelle ânerie
je tournerai 7 fois mes pouces sur le clavier avant d'écrire une nouvelle ânerie
je tournerai 7 fois mes pouces sur le clavier avant d'écrire une nouvelle ânerie
je tournerai 7 fois mes pouces sur le clavier avant d'écrire une nouvelle ânerie
etc.

F.D.

Pour FrancoisD_pas_logge :

\newcount\n
\def\punishment#1#2{\n=0
  \loop\ifnum\n<#2 \advance\n by1
    \item{\number\n.}#1\endgraf\repeat

From the TeXbook

Damned ! J'ai pourtant sûr de ne pas avoir coché !

Réponse à un des posts de la page1

Mon premier latex sur la nouveau forum (et sous toute réserve que je ne gourre pas dans les raisonnements ci-dessous lol):

certaines réciproques sont intéressantes aussi, et peu trouvées dans les livres.

Soit $(E_i)_{i\in I}$ une famille d'espaces finis (munis de la topologie discrête)

Soit $z_i$ tel que $\forall i\in I: z_i\notin E_i$ (par exemple $z_i:=E_i$) et $F_i:=E_i \cup \{z_i \}$ et on munit aussi chaque $F_i$ de la top discrête

Le produit F des $F_i$ est compact et non vide (si on accepte Tychonoff).

$U_i$:= l'ensemble des $f\in F$ tel que $f(i)=z_i$ est ouvert

Comme aucun ensemble fini de ces $U_i$ ne recouvrent F, on a déjà l'axiome du choix pour les familles d'ensembles finis (ax2)


Comment obtenir l'axiome du choix complet?

On ne suppose plus les $E_i$ finis, on les garde non vides, mais on munit chaque $F_i$ de la topologie où les seuls ouverts sont l'ensemble vide, le singleton contenant $z_i$, $E_i$ et $F_i$ tout entier; ainsi $F_i$ est compact (il n'a que 4 ouverts)

De même $U_i:=$ l'ensemble des f de F telle que $f(i)=z_i$ est un ouvert de F.

Une famille finie d'entre eux ne recouvre pas F.

Par Tychonoff, il existe donc une f de F telle que pour tout $i:\ f(i)\in E_i$

Ainsi Tychonoff entraine l'axiome du choix

---

Exercice: en faire autant avec {\it l'axiome que dans tout anneau commutatif, il existe un idéal maximal implique l'axiome du choix}