nombre premier dans [2n,3n]

Bouzar
Bouzar
dans Arithmétique
Bonjour

Voici un article intéressant :
\lien{http://qc.fengyuan.com/random/elbachraouiIJCMS13-16-2006.pdf}
Bouzar

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Réponses

  • borde
    borde
    (Re)bonjour Bouzar,

    Ce papier n'est pas inintéressant en soi, mais :

    (i) Il reprend et adapte à l'intervalle $]2n,3n]$ la méthode utilisée par Erdös pour l'intervalle $]n,2n]$. Bon, c'est bien, mais l'apport en innovations est plutôt minime.

    (ii) Une chose m'intrigue : la classification MSC2000 que l'auteur a mis pour son article (51-01). En effet, le groupe 51 correspond aux articles de géométrie, les articles de théorie des nombres appartenant, quant à eux, à la classe 11. L'auteur considère-t-il avoir fait là de la géométrie ? Il faudrait demander à Bruno ce qu'il en pense...:)


    Borde.
  • Sylvain
    Sylvain
    Tu ne serais pas un peu tatasse Olivier ? Bon tu me diras c'est le défaut des vrais matheux... :)
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Bonsoir Sylvain. Il y a un ou deux ans, un premier janvier vers 0h 15, je vous ai appris le sens de "roteuse". A vous de me rendre la pareille, en me renseignant sur "tatasse", mot que je découvre.
  • Aleg
    Aleg
    RAJ, il n'est jamais trop tard pour s'encanailler : "tatasse" est du vilain argot pour dire "tatillon".
  • Sylvain
    Sylvain
    Ah, c'est de l'argot ? Je croyais que c'était plus spécifique au parler Normand...
  • borde
    borde
    Moi non plus, je ne connaissais pas le sens du mot "tatasse" ni de "roteuse" non plus, d'ailleurs.

    C'est bien, je me sens moins bête, aujourd'hui :)-D


    Pour en revenir à l'article ci-dessus, et sans vouloir paraître outrageusement tatasse, en le lisant, je me suis posé la question suivante : avec les inégalités {\it explicites} dont on dispose aujourd'hui sur la fonction $\pi$, pourquoi reprendre une preuve existante pour montrer que l'intervalle $]2n,3n]$ contient un nombre premier alors que, pour $n \geqslant 6$, on a :

    $$\pi(3n) - \pi(2n) > \frac {3n}{\ln 3n} - \frac {2,52n}{\ln 2n} > 0 \ ?$$


    Borde.
  • Sylvain
    Sylvain
    A propos de "tatasse" : deux "t". Maths is your cup of tea.
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Bonsoir Sylvain. Connaissant vos goûts, j'avais dans un premier temps essayé d'interpréter "tatasse" comme étant "ta tasse de thé".Mais ça n'allait pas avec le contexte.
  • DocteurRenard
    DocteurRenard
    Bonjour,
    avant de me donner la peine de lire, je peux d'ores et déjà dire qu'il y a au moins deux nombres premiers entre 2n et 3n.
    Au revoir.
  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    Par exemple, entre 4 et 6...
  • Aleg
    Aleg
    Merci LBR, ce Docteur avait vraiment besoin d'une bonne ordonnance...
  • DocteurRenard
    DocteurRenard
    Ah, j'oubliais ! Pour $n$ suffisamment grand, pour les petits nombres, ça ne se vérifie évidemment pas, par exemple pour $n>2104$, merci papa barbant raseur !
  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    C'est en effet ce qu'indique l'étude de $n \mapsto \frac {3n}{\ln 3n} - \frac {2,52n}{\ln 2n}$, supérieure à 2 pour $n=39$ et de dérivée positive pour $n>5$ (sauf erreur).

    D'ailleurs, Borde, des références pour les inégalités explicites sur $\pi$ dont est issue ta minoration ?


    Comment le voyais-tu pour $n>2104$, DocteurRenard ?
  • borde
    borde
    Salut Barbu,

    Références :

    {\bf Rosser \& Schoenfeld}, {\it Approximate formulas for some functions of prime numbers}, Illinois J. Maths {\bf 6} (1962), 64--94.


    Borde.
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