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Merci, Bu, pour ce lien avec le site de J-P Merlet.
Les systèmes articulés ont été fort à la mode à la fin du 19ème et au début du 20ème.
Le théorème central est le suivant: toute courbe algébrique peut être tracée par morceaux par un système articulé.
Je renvoie au livre de Yates sur les courbes à ce sujet.
Un autre aspect de cette théorie que je trouve plus intéressant est le suivant:
Comment réaliser les principales transformations planes avec l'aide d'un système articulé?
L'inverseur de Peaucellier et le pantographe sont les plus connus.
Il me semble avoir vu dans un des nombreux livres d'Arnaudiès un système réalisant la similitude. C'est grâce à ce système, si je ne me trompe, qu'on peut expliquer pourquoi les courbes dont je viens de parler ont les symétries du triangle équilatéral.
Comme sous-produit, je pose la question suivante: trouver un système articulé réalisant la symétrie par rapport à une droite. (Penser aux inversions!)
Amicalement
Pappus

Chers amis
Voici la méthode que j'ai suivie pour obtenir une équation du lieu de l'extrémité $R$ de mon système articulé appelé 3-barres.
Pourquoi 3-barres? Parce que seules interviennent en ligne de compte les barres ou tiges: $PS$, $ST$, $TQ$.
Les barres $PS$ et $QT$ sont appelées les manivelles puisqu'une de leurs extrémités est fixe. La barre du milieu $ST$ est appelée la bielle.
On obtient ainsi un mouvement plan sur plan.
Il y a le plan fixe dans lequel se déforme le 3-barres et le plan mobile, lié à la bielle $ST$ et on regarde la courbe tracée dans le plan fixe par un point du plan mobile rigidement lié à la bielle, en l'occurrence ici le point $R$ mais on aurait pu tout aussi bien chercher le lieu d'un point quelconque du plan mobile rigidement lié à cette bielle.
Le plan fixe est rapporté à un repère orthonormé direct $\{O; \overrightarrow i, \overrightarrow j\}$ et le plan mobile à un repère orthonormé $\{R; \overrightarrow I, \overrightarrow J\}$
Les formules de passage du premier au second repère s'écrivent:
$x = u + X \cos(\theta) - Y \sin(\theta)$
$y = v + X \sin(\theta) + Y \cos(\theta)$
Chaque plan est identifié via son repère au plan complexe $\mathbb C$, si bien qu'en posant comme d'habitude:
$z = x + \imath y$, $Z = X + \imath Y$, $\xi = u + \imath v$, ces formules de passage s'écrivent alors:
$z = \xi + Z \exp(\imath \theta)$ où $\xi$ est l'affixe de $R$ dans le repère fixe $\{O; \overrightarrow i, \overrightarrow j\}$.
Soient $s$ et $t$ les affixes des points $S$ et $T$ dans le repère mobile $\{R; \overrightarrow I, \overrightarrow J\}$ .
Les affixes des points $S$ et $T$ dans le repère fixe $\{O; \overrightarrow i, \overrightarrow j\}$ sont donc:
$\xi + s \exp(\imath \theta)$ et $\xi + t \exp(\imath \theta)$
On écrit que $S$ (resp. $T$) est respectivement sur le cercle de centre $P$ et de rayon $r$, (resp. de centre $Q$ et de rayon $r'$). Pour cela, j'appellerai $p$, (resp. $q$) l'affixe de $P$, (resp. $Q$) dans le repère fixe $\{O; \overrightarrow i, \overrightarrow j\}$.
On obtient ainsi les équations:
$(\xi + s \exp(\imath \theta) - p)(\overline{\xi} + \overline s \exp(-\imath \theta)) - \overline p)
=
s(\overline{\xi} - \overline p)\exp(\imath \theta)+
\overline s(\xi - p)\exp(-\imath \theta)+|\xi - p|^2 + |s|^2 = r^2$

$(\xi + t \exp(\imath \theta) - q)(\overline{\xi} + \overline t \exp(-\imath \theta)) - \overline q)
=
t(\overline{\xi} - \overline q)\exp(\imath \theta)+
\overline t(\xi - q)\exp(-\imath \theta)+|\xi - q|^2 + |t|^2 = r'^2$
On obtient ainsi un système linéaire en $ \exp(\imath \theta)$ et $ \exp(-\imath \theta)$.
L'obtention de l'équation du lieu de $R$ est évidente. On calcule $ \exp(\imath \theta)$ et $ \exp(-\imath \theta)$ via ce système linéaire puis on élimine $\theta$ en écrivant que $ \exp(\imath \theta). \exp(-\imath \theta) = 1$.
Jusqu'ici, je n'ai rien supposé sur les longueurs des tiges. A partir de maintenant, je vais supposer que les longueurs des tiges sont égales:
$PS = ST = TQ = SR = TR = r$
Le système linéaire précédent se simplifie alors:
$s(\overline{\xi} - \overline p)\exp(\imath \theta)+
\overline s(\xi - p)\exp(-\imath \theta) = -|\xi - p|^2 $
$t(\overline{\xi} - \overline q)\exp(\imath \theta)+
\overline t(\xi - q)\exp(-\imath \theta) = -|\xi - q|^2$
dont le déterminant est:$\Delta = s\overline t(\overline{\xi} - \overline p)(\xi - q)-\overline s t(\xi - p)(\overline{\xi} - \overline q)$.
Quitte à faire une similitude, je choisis maintenant le repère fixe $\{O; \overrightarrow i, \overrightarrow j\}$ de la façon suivante:
$p = \jmath$, $q = \jmath^2$ en sorte que:
$OP = OQ = OU = 1$ et par suite: $PQ = \sqrt3$.



Puis je choisis le repère mobile $\{R; \overrightarrow I, \overrightarrow J\}$ ainsi:
$s = -r\jmath ^2$, $t = r\jmath$.



On trouve ainsi:
$\Delta = r^2\jmath(\jmath - 1)(|\xi|^2 - 1)$
Puis en résolvant le système linéaire:
$\Delta \exp(\imath \theta)
= (\xi - p)(\xi - q)(\overline s(\overline{\xi} -\overline q) - \overline t(\overline{\xi} - \overline p))$
$\Delta \exp(-\imath \theta)
= (\overline{\xi} - \overline p)(\overline{\xi} - \overline q)( t(\xi - p) - s(\xi - q))$
D'où:
$\Delta^2 = -|\xi - p|^2|\xi - q|^2|t(\xi - p) - s(\xi - q)|^2$
Mais on a aussi:
$\Delta^2 = r^4\jmath^2(\jmath^2 - 2\jmath + 1)(|\xi|^2 - 1)^2 = -3r^4(|\xi|^2 - 1))^2$ et $t(\xi - p) - s(\xi - q)= r\jmath(\xi -\jmath) + r\jmath^2(\xi - \jmath^2) = r(\jmath + \jmath^2)(\xi - 1) = -r(\xi - 1)$

Donc on a:
$3r^4(|\xi|^2 -1)^2 = r^2|(\xi -1)(\xi - \jmath)(\xi - \jmath^2)|^2 = r^2|\xi^3 - 1|^2$
L'équation du lieu de $R$ est donc, (je change de notations en remplaçant $\xi$ par $z$):
$(z^3 - 1)(\overline z^3 - 1) -3r^2(z\overline z - 1)^2 = 0$
Si on introduit le rapport des longueurs $k = \dfrac{PS}{PQ} = \dfrac{r}{\sqrt 3}$, elle s'écrit:
$(z^3 -1)(\overline z^3 -1) -9k^2(z\overline z -1)^2 = 0$
Il est clair sur cette équation que la courbe a les symétries du triangle équilatéral.
Amicalement
Pappus

Mon cher bs
Heureusement que les concepteurs des locomotives n'ont pas attendu Peaucellier pour faire fonctionner leurs machines.
Je me demande même si cet inverseur eut simplement une seule application pratique en dehors d'éliminer du baccalauréat quelques malheureux.
Aujourdh'ui, il est devenu nettement plus difficile de rater que de réussir cet examen.
Mais comme le dit la chanson, il ne faut pas désespérer!

Élève Cancrelas ? ... Présent !
Vous êt's le dernier ça me rend morose.
J'vous vois dans la class' tout là-bas dans l'fond
En philosophie, savez-vous quèqu'chose ?
Répondez-moi oui, répondez-moi non.
Monsieur l'Inspecteur,
Moi je n'sais rien par cœur.
Oui, je suis l'dernier, je pass' pour un cuistre
Mais j'm'en fous, je suis près du radiateur
Et puis comm' plus tard j'veux dev'nir ministre
Moins je s'rai calé, plus j'aurais d'valeur,
Je vous dis : bravo !
Mais je vous donn' zéro.

Amicalement
Pappus