Arctan(x+k*pi)-x=0 ?

mathduman · January 2009

Bonjour

Comment trouver le réel x tel que Arctan(x+k*pi)-x=0 ? Je ne vois pas comment débuter.

Merci d'avance.

GERARD à la maison · January 2009

Bonjour

Bizarre ce k*Pi dans l'argument de l'arctan. Tu es sur de cette écriture. Et ce k est quoi ? Supposons que c'est un nombre fixé, un entier par exemple.

Tu écris ton équation sous la forme arctan(a)= b, et comme arctan est une bijection, il existe soit une égalité unique du genre a = tan(b) si b est bien une valeur possible pour Arctan, et pas de solution sinon.

Dans ton cas, en général il n'y a pas de solution, et si x est strictement entre -Pi/2 et Pi/2, alors tu tombes sur une égalité qui n'a pas de transformation classique (On peut facilement approximer x par les méthodes classiques).

Cordialement

DocteurRenard · January 2009

La solution est $x=-k{\pi}$. Elle est évidente : pose $X=x+k{\pi}$ tu arriveras alors à $\tan(X)=X$. La fonction $\tan(X)-X$ a pour dérivée ${\tan(X)}^2$, donc elle est croissante entre $-\frac{{\pi}}{2}$ et $\frac{{\pi}}{2}$ et ne s'annule qu'en $X=0=x+k{\pi}$. D'où la solution !

Aleg · January 2009

??

GERARD · January 2009

Bonjour.

A question bizarre, réponse fausse. Si k n'est pas nul, Arctan(x+k*pi)-x= 0 + k*pi qui ne fait pas 0.

Mathduman, où es-tu passé ?

DocteurRenard · January 2009

Ce qui est faux ici, c'est l'énoncé, qui est mal posé ! Il cherche $x$ tel que $\tan(x)=x+k{\pi}$. Il est évident que la seule solution pour $k$ entier est $x=-k{\pi}$, puis que $\tan(-k{\pi})=0=-k{\pi}+k{\pi}$.

gb · January 2009

Si l'on a le droit de changer l'énoncé sous prétexte qu'il est mal posé ...!!!

Voici la résolution graphique de $\arctan(x+\pi) = x$, il y a une solution unique qui n'est pas $x = -\pi$.
10890

DocteurRenard · January 2009

Qui n'est pas $x=-{\pi}$ et non $k$ (si tu t'y mets, aussi, gb, on ne s'en sortira plus !). Avec ces énoncés mal posés, on finit par s'en poser soi-même (ce qui n'est pas un mal : il faut apprendre à poser des questions avant de donner des réponses !).

bs · January 2009

Coucou,

Peu-être qu'un jour, mathduman communiquera un énoncé exact, ou la référence de cet exercice :S

Amicalement.

bosio frederic0 · January 2009

Je n'ai pas tout tres bien compris. Toutefois, il me semble que quelle que soit la valeur de $\lambda $,en particulier de la forme $k \pi $, la fonction $\arctan (x + \lambda ) - x$ decrit une bijection de $\Bbb R $ dans lui-meme et qu'il existe donc bien un unique reel qui verifie l'equation demandee au depart.

Pour le trouver explicitement, c'est autre chose. Il est vraisemblable qu'on puisse en donner une expression sous forme de serie, mais pas une forme reellement "explicite".

Remarque0 · January 2009

D'accord avec bosio frederic, pour chaque valeur de $k$, il y a une solution $x_k$ et une seule.

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Arctan(x+k*pi)-x=0 ?

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