fonction caractéristique de module constant
Bonsoir,
Je bloque sur une question dans un problème dont je n'ai pas de corrigé :
Soit X une variable aléatoire réelle. On suppose que sa fonction caractéristique est de module constant dans un voisinage de 0. Il faut montrer que le loi de X est dégénérée (il existe k tel que P_X(k)=1).
Il y a une indication : considérer la fonction caractéristique en des valeurs u et v rationnellement indépendantes.
Je n'arrive à rien du tout.
Merci de votre aide.
Je bloque sur une question dans un problème dont je n'ai pas de corrigé :
Soit X une variable aléatoire réelle. On suppose que sa fonction caractéristique est de module constant dans un voisinage de 0. Il faut montrer que le loi de X est dégénérée (il existe k tel que P_X(k)=1).
Il y a une indication : considérer la fonction caractéristique en des valeurs u et v rationnellement indépendantes.
Je n'arrive à rien du tout.
Merci de votre aide.
Réponses
-
Salut,
Tiens je pensais que TheBridge allait répondre avant moiJe ne comprends pas trop l'indication, mais je vais y réfléchir. En revanche voilà une autre piste : soit $X'$ une v.a. indépendante de $X$ et de même loi, et $Y=X-X'$. Quelle est la fonction caractéristique de $Y$ ?
-
comme dit Egoroff, je pense qu'il est plus naturel de considerer $Y=X-X'$ et on est ramene a montrer qu'une variable aleatoire dont la transformmee de Fourier est egale a $1$ sur un voisinage de $0$ est constante et egale a $0$.
Pour te donner l'untuition, suppose que $Y$ est a valeur entiere et que sa transformee de fourier en $1$ vaille $1$ ie: $E[\exp(iY)] = 1$. Alors pourquoi $Y=0$. Apres tu devrais voir comment generaliser ce raisonnement au cas continue. -
Des étudiants m'ont posé la même question il y a un an. J'avais employé moi aussi la méthode d'Egorov, sachant que même avec cette remarque, l'exo n'est pas trivial.
A l'époque, je n'avais pas vu non plus ou voulait nous emmener l'indication.
Je n'ai pas recherché depuis.
J'ai tapé ma solution en Latex, je pourrai la donner si ça vous intéresse. -
Bonsoir
J'ai trouvé un exo proche dans le livre de Grimmett et Stirzaker. En adaptant un peu la solution il me semble que l'on peut résoudre cet exo:
Si on note $Y=X'-X$, pour $t$ tel que $\phi_Y(t)=1$ on a
$$E[cos(tY)]=1$$
donc $tY \in 2\pi\mathbb{Z}$ p.s.
En prenant $u$ et $v$ rationnellement indépendants tels que $\phi_Y(u)=\phi_Y(v)=1$ on a
$$Y \in \frac{2\pi}{u}\mathbb{Z} \cap \frac{2\pi}{v}\mathbb{Z}=\{0\}$$ p.s.
Maintenant comment conclure que $X$ est dégénérée? ca ne me parait pas trop clair... peut être que cela vient du même fait que la convergence en loi est équivalente à la convergence presque sure dans le cas d'une limite constante?
Alea: je veux bien votre corrigé. Merci -
Pour la référence il s'agit de la troisième question préliminaire du sujet de proba du concours cachan 3A de 2004.
Dur dur... -
Voilà
-
Bonsoir,
La fonction caractéristique d'une va ne caractérise pas entièrement sa loi? -
Blue_mathematics : oui, mais ici on ne l'a que sur un voisinage de 0, donc il faut une idée en plus.
ericb: effectivement, ton argument est plus simple que mon Fubini. Merci !
Pour la fin qui te manquait, tu as vu que j'ai rédigé 3 solutions. -
Merci pour le document, aléa. Les trois méthodes sont très jolies. En effet on ne connaît la fonction caractéristique que sur un voisinage de 0, mais ça suffit pour appliquer la proposition 2.53 de la page ci-jointe : \lien{http://www.proba.jussieu.fr/cours/processus-html/node18.html}. Ici $\varphi_Y$ est $2$ fois dérivable en $0$, donc $Y \in L^2$ et on peut calculer ses moments d'ordre 1 et 2 en dérivant $\varphi_Y$ ; on obtient là encore $Y=0$ p.s. mais c'est moins élégant que de voir que l'espérance de $\cos tY$ vaut $1$ pour suffisamment de valeur de $t$. Sinon pour la fin il me semble qu'on peut également introduire le support $S$ de la loi de $X$ ; le support de la loi de $Z$ est alors $S-S$ qui n'est pas réduit à $0$ dès que $S$ n'est pas réduit à un singleton.
-
egoroff Écrivait:
> 0, mais ça suffit pour appliquer la proposition
> 2.53 de la page ci-jointe :
Bien vu !
> le support de la loi de $Z$ est alors $S-S$
Oui, c'est plus ou moins l'idée qui court dans ma première preuve.
Pour l'instant, on n'a pas de solution qui évite l'introduction de Z.
Si on n'en trouve pas, alors l'indication donnée embrouille plus qu'autre chose, puisqu'elle aiguillerait sur un détail technique alors que la grosse astuce, qui est l'introduction de Z, n'est pas indiqué. -
Oui, je suis complètement d'accord avec toi en ce qui concerne l'indication. A moins en effet qu'il existe une solution ne faisant pas intervenir de copie indépendante.
Sinon, cette proposition 2.53 laisse entendre que $\varphi_X$ peut être dérivable en $0$ sans que $X \in L^1$... -
Si $E(\exp(itX))=\exp(i\theta)$ alors on a :
$$
E(1-\exp(itX-i\theta))=0.
$$
et donc
$$
E(Re(1-\exp(itX-i\theta)))=0.
$$
Or
$$
Re(1-\exp(itX-i\theta)) \ge 0.
$$
D'où, avec probabilité $1$, $\exp(itX-i\theta)=1$ puis
$$
X \in t^{-1}\theta + t^{-1}2\pi\Z.
$$
Maintenant on prend $t,t'$ rationnellement indépendant. L'intersection de $t^{-1}\theta + t^{-1}2\pi\Z$ et de l'équivalent pour $t'$ est (au plus...) un singleton. Ce qui conclut, sauf bévue.
(Salut Aléa !) -
Bien joué JB mais il me semble que c'est exactement la solution d'ericb, mardi à 23h22 ?
-
Salut JB,
Si $X$ est bien $X$, a priori $\theta$ dépend de $t$, non ? -
Egoroff : c'est très proche de la preuve d'ericb, sauf que je ne soustrais pas une copie indépendance de $X$ à $X$. Apparement c'était un point qui embêtant certains car paraissant trop astucieux.
Aléa : $\theta$ dépend effectivement de $t$ mais ce n'est pas grave. L'intersection de $t^{-1}\theta + t^{-1}2\pi\Z$ et de $t'^{-1}\theta' + t'^{-1}2\pi\Z$ est tout de même au plus un singleton.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 66 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 30 Mathématiques et finance
- 344 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 806 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres