Hessien(f)

Je rappelle quand même la définition d'un point critique.
On dit que $a$ est un point critique de $f$ sur $S = g^{-1}(0)$ si la dérivée $Df_a \in \mathcal L(E, \mathbb R)$ s'annule sur l'espace tangent $T_aS = Ker(Dg_a) \in \mathcal L(E, F)$ en $a$ à $S$.
Comme $Dg_a$ est surjective, $Df_a$ se factorise de façon unique à travers $Dg_a$ pour induire une forme linéaire $\lambda \in F^*$ telle que:
$Df_a = \lambda \circ Dg_a$.
La forme linéaire $\lambda$ est appelée multiplicateur de Lagrange de $f$ relatif au point critique $a$.
Maintenant, venons en à la définition de la hessienne.
Soit $\alpha : \Omega \longmapsto E$, une $\mathcal C^2$- paramétrisation de $S$ au voisinage de $a$, où $\Omega$ est un ouvert d'un espace vectoriel réel $G$ de dimension finie tel que $0 \in \Omega$.
Rappelons ce que cela veut dire:
1° $\alpha$ est une immersion et $\alpha(0)= a$.
2° $\alpha(\Omega)$ est un ouvert de $S$ pour la topologie induite de $E$.
3°$\alpha$ est un homéomorphisme de $\Omega$ sur $\alpha(\Omega)$. C'est l'homéomorphisme inverse $\alpha^{-1}$ qui est appelé carte de $S$ au voisinage de $a$.
On sait que $D\alpha_0 \in Isom(G, T_aS)$. Soient $\xi, \eta \in T_aS$.
On pose :
$$Hess(f)_a(\xi, \eta) = D^2(f \circ \alpha)_0(D\alpha_0^{-1}(\xi), D\alpha_0^{-1}(\eta))$$

Il n'est pas très difficile de voir que cette forme bilinéaire symétrique ne dépend pas du choix de la paramétrisation $\alpha$, à condition de savoir calculer correctement la dérivée seconde d'une fonction composée!
Cependant, on voit que cette définition n'est pas très maniable car elle exige le calcul préalable d'une paramétrisation de $S$ au voisinage de $a$.
Ce que je prétends, c'est qu'il existe une jolie formule permettant de calculer ce hessien sans avoir à se farcir le calcul d'une paramétrisation.
Le calcul de $Df_a$, $Dg_a$, $D^2f_a$, $D^2g_a$ et $\lambda$ suffit pour avoir la hessienne.
C'est cette formule là que je demande!
Et je m'étonne d'ailleurs de ne jamais la voir figurer dans les ouvrages élémentaires de Calcul Diff!
Amicalement
Pappus

Mon cher dSP
Je ne comprends pas ton exemple! Pour qu'on se mette d'accord, utilise mes notations.
Quelle est ta fonction $f$ et quelle est ta fonction $g$?
Après on pourra discuter sérieusement!
Je te soupçonne de calculer la hessienne de $f(x,y) = x^2 + y^2$ à l'origine.
Ta question a bien un sens même si la fonction $g$ a disparu!
Par contre ton prétendu paramétrage, au voisinage de l'origine, me semble bizarre! Tu voulais sans doute passer en polaire:
$x = \rho \cos(\theta), \quad y = \rho \sin(\theta)$
mais j'ai le regret de te dire que ce n'est pas un paramétrage au voisinage de l'origine, pourquoi d'ailleurs?

Je modifie légèrement les notations de mon précédent message et je pose:
$$Hess(f)^{\alpha}_a(\xi, \eta) = D^2(f \circ \alpha)_0(D\alpha_0^{-1}(\xi), D\alpha_0^{-1}(\eta))$$
pour montrer que cette expression dépend a priori du paramétrage $\alpha$.

Et de fait on peut définir cette bestiole en tout point de l'ouvert $\alpha(\Omega)$.
En un point $m$ non critique, $Hess(f)^{\alpha}_m$ dépend effectivement du paramétrage mais par contre en un point critique, cela n'est plus le cas!
Amicalement
Pappus

Mon cher dSP
Je vais te donner (un argument non mathématique?) de la validité de cette formule.
Je la tiens oralement du grand Cartan himself! Paix à son âme!
Pour ceux qui ne sont toujours pas convaincus que le hessien ne peut être défini sans structure métrique auxiliaire, voici une formule intrinsèque valable en un point critique $a$ d'une fonction numérique $f$ définie sur une variété $V$.

Soient $\xi, \eta \in TaV$
Soient $X, Y$ deux champs de vecteurs définis localement au voisinage de $a$ tels que:
$X_a = \xi$ et $Y_a = \eta$
Alors $Hess(f)_a(\xi, \eta) = X.(Y.f)_a = Y.(X.f)_a$
où comme d'habitude $X.f$ désigne la dérivée de Lie de la fonction $f$ par le champ $X$.
Amicalement
Pappus

dSPauboulot Écrivait:

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> Merci d'avoir mis le doigt sur ce qui pose
> problème :
> Pour moi, on peut parler, pour une fonction
> définie sur un ouvert de $\R^n$ et de classe $\cal
> C^2$, de sa Hessienne en n'importe quel point.
> Mon problème, et c'est là le sens de mes
> interventions, c'est qu'on ne peut pas définir,
> sur une variété, de notion de différentielle
> seconde en toute généralité (cf. l'exemple du
> changement de variable polaire).
> En revanche, en un point critique (c'est ce qui
> m'avait échappé dans ton post initial) on obtient
> bien une différentielle seconde indépendante de
> l'atlas utilisé.
>
> Pour me racheter, j'en profite pour résoudre la
> question initiale :
> Soit une courbe $\gamma$ de classe $\cal C^2$
> tracée sur $S$ et atteignant à l'instant $~0$ le
> point $a$ avec un vecteur dérivé $x$.
> Il existe un vecteur $y$ tel que
> $\gamma(t)=a+t.x+t^2.y+o(t^2)$.
> Du coup,
> $f(\gamma(t))=f(a)+t^2(df_a(y)+\frac{1}{2}\,d^2f_a
> (x))+o(t^2)$.
> En procédant de même pour $g$, on trouve d'autre
> part $dg_a(y)+\frac{1}{2} d^2g_a(x)=0$.
> Finalement, on choisit une section (linéaire, pour
> simplifier les choses) $s$ de la surjection
> linéaire $dg_a$, et la dérivée seconde de $f \circ
> \gamma$ en $~0$ devient
> $d^2f_a(x)-df_a(s(d^2g_a(x)))$, quantité
> indépendante du choix de $s$
> car $\ker dg_a \subset \ker df_a$, et ne dépendent
> bien que de $x$.
>
> La Hessienne de $f_{|S}$ est donc bien définie et
> vaut, si on note $T$ l'espace vectoriel tangent à
> $S$ en $a$ :
> $(d^2f_a)_{|T}-df_a \circ s \circ (d^2g_a)_{|T}$.


Bravo dSP, tu as enfin écrit la formule que j'avais en vue puisque $df_a \circ s = \lambda$ est le multiplicateur de Lagrange. La hessienne de $f$ en $a$ n'est donc que la restriction à l'espace tangent $T_aS$ de la forme quadratique $D^2f_a - \lambda \circ D^2g_a$, formule on ne peut plus simple et dont je m'étonnais qu'elle ne fut pas enseignée!
Notre dialogue n'était donc qu'un dialogue (provisoire) de sourds.

Voici quelques applications concrètes de cette formule
1° $E$ est un espace vectoriel euclidien de dimension $n$.
$End(E)$ est muni de la structure euclidienne associée à la norme de Hilbert-Schmidt: $\|A\|^2 = Trace(A.A^*)$
On considère le groupe orthogonal $O(E)$, sous -variété de $End(E)$, (il est facile de trouver une submersion $g$ qui le définit).
Soit $f_A: End(E) \longmapsto R$ défini par $f_A(M) = \|A - M\|^2$
Trouver les $A \in End(E)$ tels que $f_A$ soit une fonction de Morse sur $O(E)$ et en profiter éventuellement pour calculer la caractéristique d'Euler-Poincaré (bien connue) de $O(E)$.
Même exo en remplaçant $O(E)$ par l'ensemble des projecteurs orthogonaux de rang $p$ qui s'identifie naturellement avec une grassmanienne adéquate.

Amicalement
Pappus

Eric Chopin Écrivait:

---

> Salut,
>
> Comme dit dSP, si on n'est pas en un point
> critique ca n'est pas
> tres compliqué de s'y ramener, non?
>
> Pappus, quand tu dis:
> "Il n'est pas très difficile de voir que cette
> forme bilinéaire symétrique ne dépend pas du choix
> de la paramétrisation , à condition de savoir
> calculer correctement la dérivée seconde d'une
> fonction composée!"
>
> j'aimerais quand meme bien voir les calculs car
> imaginons que tu composes
> ta carte avec une rotation (dans un cas ou c'est
> pertinent bien sur),
> ca voudrait en gros dire que ta matrice
> Hessienne reste invariante ce qui me choque
> plutot, elle devrait
> "tourner" avec la rotation. Choisir une carte
> c'est choisir
> un systeme de coordonnées et dans deux systemes de
> coordonnées
> différentes la matrice d'une forme quadratique
> n'est pas la meme, non?
> Par contre, que sa signature soit invariante je
> suis OK avec ca...
>
> A+
>
> eric


Mon cher Eric
Où as tu vu que j'aurais dit que la matrice d'une forme quadratique serait la même dans deux systèmes de coordonnées différents? Le vieux Pappus connaît son cours quand même!
Analyse bien la belle démonstration de dSP que Cartan n'aurait pas désavouée lui qui était un spécialiste des développements limités dans les Banach. Non seulement il trouve la formule que j'avais en vue mais en plus il démontre l'invariance de ma définition de la hessienne qui ne dépend plus du choix de la paramétrisation $\alpha$ qui a disparu du résultat final.
Essaye de montrer l'invariance de (ma) formule dans le cas d'une variété abstraite. C'est ce que fait Yvonne Choquet-Bruhat dans son livre. C'est simplement un calcul délicat de la dérivée seconde d'une fonction composée (avec le changement de cartes).
Très amicalement
Pappus
PS
Les applications que je cite sont peut-être trop techniques.
En voici une autre plus jolie qui parait-il aurait été posée à l'oral du CAPES ou de l'Agreg
Trouver les tétraèdres de volume maximum dont les aires des faces sont données.
J'ai une anecdote marrante à ce sujet.
Il y a très très longtemps, je m'étais attaqué à ce problème en vue de l'exposer dans un cours d'agreg. Evidemment, je l'avais résolu par la dite méthode des multiplicateurs de Lagrange avec calcul du hessien ,le grand jeu quoi!
Puis comme je savais que Lagrange avait résolu ce problème, j'avais eu la curiosité de consulter à l'Institut les archives de l'Académie de Berlin où le mémoire de Lagrange était publié.
Eh bien à ma grande surprise, j'avais rédigé dans un langage plus moderne évidemment, exactement la même solution que Lagrange qui manipulait avec brio toute l'algèbre linéaire et bilinéaire que nous connaissons en dimension 3 sans la terminologie of course!
Et tout cela écrit en bon vieux français c'est à dire ni en latin ni en anglais ni en allemand! Les temps ont bien changé!

pappus Écrivait:

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> Pour ceux qui aiment bien les indices et le calcul
> tensoriel, voici comment on peut présenter les
> choses dans ce jargon.
> On a une variété $V$, une fonction numérique $f$
> définie sur $V$ et un point critique $a$ de $f$
> sur $V$.
> Soit $\phi:\Omega \longmapsto \mathbb R^n$ une
> carte de $V$ au voisinage de $a$ où je suppose que
> $\phi(a) = 0$.
> Soit $\Omega' = \phi(\Omega)$
> L'écriture de $f$ dans cette carte est: $F = f
> \circ \phi^{-1}:\Omega' \longmapsto R$
> La forme quadratique $D^2F_0$ s'écrit:
> $D^2F_0(x_1, ..., x_n) = \sum_{i,j=1}^n
> a_{ij}x_ix_j$
> Alors les $a_{ij}$ sont les composantes d'un
> tenseur symétrique deux fois covariant qui n'est
> autre que le hessien évidemment mais auparavant il
> y a un petit calcul à se farcir pour le prouver.
> Voir par exemple le livre d' Yvonne
> Choquet-Bruhat: Analysis, Manifolds and Physics,
> page 571. Il doit exister une version française de
> cet ouvrage, je suppose.
> Amicalement
> Pappus
> Et pourquoi pas ne pas regarder dans l'oeuvre de
> Milnor lui-même?

Mon cher Eric
Je cite mon propre message pour répondre à ton angoisse métaphysique.
Prends une autre carte $\psi$ au voisinage du point critique $a$ de $f$ sur la variété $V$ et je suppose qu'on a encore $\psi(0) = a$.
Dans cette nouvelle carte , l'écriture de $f$ est $G = f \circ \psi^{-1}$
On obtient une nouvelle forme quadratique $D^2G_0$ associée à une matrice symétrique $(b_{ij})$
Maintenant soit $ x \in T_aV$, il a des composantes $(x_1, ...,x_n)$ dans la première carte $\phi$ et des composantes $(y_1,...,y_n)$ dans la seconde.
Alors on a:
$$Hess(f)_a(x,x) = \sum_{i,j =1}^n a_{ij}x_ix_j = \sum_{i,j=1}^n b_{ij}y_iy_j$$
C'est tout ce que cache l'invariance en question et que l'on traduit en disant que $a_{ij}$ est un tenseur symétrique deux fois covariant.
très amicalement
Pappus

Bien sûr, Eric, c'est bon d'être enfin sur la même longueur d'ondes!
Et encore une fois, pour ceux qui suivent de loin ce fil, il n'est pas évident sur la définition des $(a_{ij})$ comme matrice de la forme quadratique $D^2(f \circ \phi)_0$ que ceux-ci forment un tenseur symétrique 2 fois covariant.
Très amicalement
Pappus

Mon cher Remarque
Merci mais je n'ai fait que secouer le cocotier.
Et je revois Cartan enseignant ces trivialités avec sa clarté et sa pédagogie habituelles.
Son cours de Calcul Diff est toujours d'actualité. On n'a pas fait mieux depuis!
Pour en revenir à Lagrange et son problème sur le tétraèdre, je me demande s'il n'a pas inventé ses multiplicateurs justement pour le résoudre.
Je me souviens avoir feuilleté ces annales de l'Université de Berlin sans en trouver trace avant ce fameux article.
Ca m'avait un peu énervé à l'époque. J'avais rédigé ma solution très proprement avec produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte, matrice de Gram, multiplicateurs de Lagrange, hessien, etc... et à ma grande surprise, je n'avais fait que réécrire la solution de Lagrange. Belle leçon d'humilité!
Très amicalement
Pappus