Germe 4-déterminé

Gaston_Ldéco
Gaston_Ldéco
dans Analyse
Bonjour tout le monde,

dans mon cours sur les singularités & catastrophes, il y a un germe $\displaystyle \eta = \frac{x^3}{3}+xy^3$ dont il paraît qu'il est 4-déterminé, et je n'arrive pas à le montrer...

(tout ce dont je dispose, c'est :
- la définition (même avec des exemples de germes ayant le même k-jet, je n'arrive pas à montrer que $\eta$ lui est équivalent, alors le cas général...)
- une condition suffisante de k-détermination (mais le germe en question est un contre-exemple [de Siersma] pour montrer qu'elle n'est pas nécessaire donc peu d'espoir)
- et un lemme : si $\eta$ et $\xi$ sont deux germes, et $\eta$ est k-déterminé, alors si $\eta$ et $\xi$ ont même k-jet, ou si ils sont équivalents, alors $\xi$ est k-déterminé... j'ai évidemment essayé avec ce lemme, mais j'ai fait chou blanc jusqu'ici...

merci d'avance ;)

Réponses

  • Mauricio4
    Mauricio4
    C'est un germe a point critique isole donc il est finiment déterminé. Tu fais un diagramme de Newton et tu vérifies directement que tout monome de degré au moins 4 est de la forme $d \eta v$ où $v$ est un champ de vecteur qui s'annule a l'origine. Donc tout germe du type
    $\eta+r$ où $r$ est de degré au moins $4$ est équivalent à un germe de la forme
    $\eta+r'$ où $r'$ est d'ordre arbitrairement grand (tu composes le germe avec le difféo Id+v). Comme c'est un germe finiment déterminé, il est équivalent à $\eta$.

    M.
  • Gaston_Ldéco
    Gaston_Ldéco
    Ok, merci de ta réponse Mauricio ;)

    2 questions toutefois :

    1) déjà je suppose que c'est $\eta + r$ où $r$ est de degré au moins $\textbf{5}$ qu'il faut lire ? (puisque on veut montrer qu'il est 4-déterminé, donc je prends un germe ayant même 4-jet, si je rajoute des termes de degré 4 c'est plus bon...) ou alors j'suis à côté de la plaque...

    2) j'ai suivi ton raisonnement, à part juste un point obscur, le coup du diagramme de Newton... dont je n'ai jamais entendu parler ^^. Y a-t-il un autre moyen (relativement simple) d'aboutir à la même chose ?

    @+
    [ouf j'ai failli envoyer sans cocher la case LaTeX ^^]
  • Mauricio4
    Mauricio4
    Oui degré 5. Mais remarque que pour presque tout monôme $r$ de degré 4
    $\eta+r$ est équivalent à $\eta$ (pour peu que $\eta+r=0$ ait deux composantes
    dont l'une est lisse et l'autre a un point de rebroussement).
    Pour le diagramme de Newton tu peux regarder Arnold {\it Singularités d'applications différentiables} Volume I chapitre 2 ou Newton {\it Calcul des fluxions}.
    M.

    [La case LaTeX. :) AD]
  • Gaston_Ldéco
    Gaston_Ldéco
    Ça roule, j'vais zieuter ça, merci encore Mauricio ;)



    [je ne coche pas la case LaTeX mais c'est volontaire :D ]
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