un peu de théorie de Galois

BACH13
BACH13
dans Algèbre
Bonjour à tous,

Je reviens sur une petite question que j'avais posée et on l'a discutée...

Soit k un corps des nombres.
Je dis que |k/k^2| est infini ( || désigne le cardinal). Je procède de la manière suivante :

Si rac(2), rac(3), ..., rac(p), ... avec p est un nombre premier sont tous dans k alors k devient de degré infini sur Q car rac(2), rac(3), rac(p),... sont linéairement indépendants sur Q, donc on en déduit que k contient un nombre fini de rac(p_i), (vu qu'il existe une infinité des nombres premiers), alors forcement il existe une infinité de nombres premiers tels que leur racine carré n'est dans k, donc |k/k^2| est infini..

Est-ce que cette raisonnement est correct ?
Merci
bach1

Réponses

  • Ayoub
    Ayoub
    Salut :)

    Je comprends pas tes notations, c'est quoi k^2?

    :)
  • BACH13
    BACH13
    ben ! tout simplement "k au carré"
    bach1
  • Ayoub
    Ayoub
    Certes, mais t'entends quoi par k/k²? Ce n'est visiblement pas le quotient de k par k² alors c'est quoi?

    :)
  • PB
    PB
    C'est peut-être plutôt : k*/k*^2 le quotient du groupe multiplicatif par le sous-groupe des carrés (image de l'endomorphisme x->x^2).

    Si k=Q c'est vrai que k*/k*^2 est infini (ça vient directement de la décomposition en facteurs premiers).

    Si k=C j'ai du mal à le croire ;)
  • mt-i
    mt-i
    Sauf que C n'est pas un corps de nombres. La démonstration proposée par bach1 me semble bien correcte. On peut remarquer incidemment que la démonstration donnée sur Q fonctionne aussi sur un corps de nombres arbitraire, bien que l'on ne dispose pas d'unicité de la décomposition en facteurs premiers: il suffit de voir qu'il y a une inifinité d'éléments entiers irréductibles, et pour ça, la preuve d'Euclide s'applique encore.
  • BACH13
    BACH13
    Bonsoir,
    On procède de la manière suivante: soit K un corps des nombres. On sait qu'il existe qu'un nombre fini des nombre premier qui se ramifient en K (*).

    Je note p1, p2, p3, ..., pn ces nombres premiers.
    Pour tout nombre premier qui est différent de pi (i allant de 1 à n) tel que
    pi congru à 1 modulo 4 (il en existe une infinité) on a :

    L = Q(racine(pi)) n'est pas inclus dans K, car sinon et comme le discriminant de L sur Q divise celui de K sur Q on tire que pi divise le discriminant de K/Q et donc pi se ramifie absurde par (*)


    Bach1
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