Transformation de Tschirnhaus, Groupe de Galois

Ayoub
Ayoub
dans Algèbre
Bonjour à tous :)

Je suis en train de lire un article sur le calcul effectif de groupe de Galois sur les rationnels et il y a un 'ti passage que je ne comprends pas vraiment... Bon, je zappe les détails inutiles, en gros on vient de définir la résolvante associée à F (dans Z[X1,...,Xn]) et f (dans Z[X] unitaire). Voici ce que je ne comprends pas:
We shall now assume troughout that the zeros of R(F,f) are distinct, for it not, we may apply an appropriate Tschirnhaus transformation to f preserving the Galois group, then recompute R(F,f).

J'ai vu sur Wiki ce qu'était ladite transformation, mais j'ai peine à voir en quoi elle conserve Gal(f) et donne une résolvante avec des zéros distincts. Quelqu'un peut-il m'éclairer ?

5 you.
:)
Ayoub

Réponses

  • Joaopa
    Joaopa
    Soit $Y=P(X_1,...,X_r)$ ta transformation de Tschirnaus.

    La résolvante associée à cette transformation est une expression rationnelle (théorème fondamental des polynômes symétriques) de tes racines $x_1,\ldots,x_n$ donc ça ne change pas le groupe de Galois.

    Pour le coup des racines distinctes, je pense qu'il faut supposer que ton corps de base est infini.

    Donc dans ce cas, tu peux trouver un polynôme $P$ tel que la dérivée de la résolvante $G(Y)$ ne s'annule pas.

    Joaopa
  • Ayoub
    Ayoub
    Bonsoir Joapa :)

    Je ne t'ai pas bien compris... :-(

    Pourquoi ta transformation de Tschirnhaus est à plusieurs variables ? f n'en a qu'une seule lui...
    Pour le fait que le groupe de Galois reste inchangé, ok.
    Pour le coup des racines distinctes, en quoi est-ce évident qu'un tel P existe ?

    Merci de t'intéresser à mon problème en tous cas.

    :)
  • Joaopa
    Joaopa
    > Je ne t'ai pas bien compris... :-(
    >
    > Pourquoi ta transformation de Tschirnhaus est à
    > plusieurs variables ? f n'en a qu'une seule
    > lui..

    Je travaillais de facon formelle. Si tu veux, on peut prendre pour les $X_i$ les racines de ton polynomes. Ca ne change rien.

    > Pour le coup des racines distinctes, en quoi
    > est-ce évident qu'un tel P existe ?
    >

    Donc soit $x$ une racine de ton polynome de degre $n$, $y=a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$.
    Donc, on a $y$ racine d'un polynome $g(Y)$ a coeff dans $K$ (corps de base). Les coeff de $g(Y)$ sont des polynomes en les coeffs de ceux de P, donc est un polynome en un coeff $a_i$. Donc $g'(y)$ aussi. Tu peux donc trouver $a_{n-1},\cdots,a_0$ tel que de $g'(y)$ ne soit pas nul (je suppose que $K$ est infini et de caracteristique 0). Si on est en car. finie, il y a un peu plus de travail.
  • valibouze
    valibouze
    Bonjour,

    Voici une reponse plus complete :


    la transformation de Tchirnhaus est une résolvante avec un invariant P du groupe
    H=S_xS_(n-1) (produit de groupes symétriques)

    D'une manière générale (quelque soit H) si la résolvante (absolue) est SANS facteur carré sur un corps parfait k (ex. infini), le groupe de Galois de la résolvante est

    G/M

    ou M (auto-adjoint dans G) est l'intersection des (G inter sHs^-1) ou s parcours une transversale a gauche de
    Sn modulo H : Sn = H+sH+.... (voir un article que j'ai publie en 1995 dans AAECC).

    Si la résolvante est relative à un groupe autre que Sn (i;e. non absolue): remplacer Sn par ce groupe.

    (Si H est celui de la résolvante de Tchrinhaus : qu'est-ce que M si ce n'est l'identité ?)

    C'est assez simple à démontrer (il existe plusieurs preuves) : Si la résolvante est sans racines multiples alors s.P(alpha) (alpha, un n-uplet des racines du polynome de départ) est un élément primitif de

    k(alpha)^{sHs^-1} sur k

    On le corps K des racines de la résolvante étant l'union de ces corps on trouve bien

    K=k(alpha)^M ( =k(alpha) sauf dans des cas particuliers en bas degré)

    . CQFD.
  • Ayoub
    Ayoub
    Merci pour vos réponses. Encore une autre question:

    On comprend bien que la plupart des transformations vont convenir mais comment en trouver une qui conviendra à coup sûr (dépendant du primitif qu'on prend évidemment). En gros, est-ce-que la recherche de "an appropriate Tschirnhaus transformation" est algorithmique? L'énoncé surggère que oui, si vous pouviez confirmer/infirmer...

    :)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français