demande d'explication sur ce qu'est un carré dans le corps Fp

Bonjour.

Pour ta deuxième question, est-ce la notion de polynôme "quadratfrei" ? Le fait, pour un polynôme d'avoir un facteur carré permet de commencer à la factoriser, car le facteur est aussi un facteur du polynôme dérivé.

Cordialement

Sans doute utilise-t-on le théorème suivant (s'il n'est pas dans ton cours, tu peux t'amuser à le redémontrer) : -1 est un carré dans $\mathbb{F}_p[X]$ ($p$ premier impair) si et seulement si $p$ est congru à $1$ modulo $4$

Salut, je ne connais pas la définition générale du discriminant d'un polynome mais ici on est en degré 2, donc c'est le delta de la première

Donc on calcule $\Delta$, on trouve $-7$
Quand on était en premier on avait 3 choix suivant si $\Delta$ était positif, négatif ou nul
Mais dans $\mathbb{F}_3$, ca n'a pas beaucoup de sens (enfin le positif ou négatif), donc il faut revenir à pourquoi y avait il cette alternative en première ?

Tout bêtement parce qu'on voulait prendre la racine carrée de $\Delta$, et que dans $\R$, ceci n'a de sens que si on est en présence d'un nombre positif.

Dans $\mathbb{F}_3$ (ou plus généralement $\mathbb{F}_p$), les carrés sont plus dur à caractériser (peut-etre as tu déjà entendu parler du symbole de Legendre ?)
Ici, les éléments $x \in \mathbb{F}_3$ qui peuvent s'écrire $x=y^2$ avec $y\in \mathbb{F}_3$ ne sont pas nombreux : il n'y en a qu'un, à savoir $1$

Donc si ton discriminant ne vaut pas $1$ (attention dans $\mathbb{F}_3$), ton polynôme n'a pas de racine, ce qui est le cas ici


Et pour ta "factorisation" finale de ton polynome, ca n'en est pas une : dans $\mathbb{F}_3$, $3=0$ et $4=1$, c'est ce qui te donne ca


En tapant mon texte, je me suis demandé dans quelle classe tu étais : comme tu marquais $\mathbb{F}_3$ et pas $\Z/3\Z$, j'ai supposé au départ que tu étais en L3/M1 ?

[Correction du "c" intempestif . Bruno]

P = X² + 3X + 4 (=x²+4 dans F3[X] sauf erreur)
pour factoriser P, il faut trouver une racine de P dans F3.
(s'il se factorise cela ne peut se faire qu'en produit de deux monômes, F3 est un corps)
Et on vérifie, sauf erreur, que p n'a aucune racine dans F3 en calculant p(x) pour x=0,1,2.

Dans un corps, l'équation x²=a a au plus deux solutions distinctes.
Si u est une solution -u est aussi une solution.

Quand on veut résoudre une équation de type ax²+bx+c=0 dans C, corps des nombres complexes, on se retrouve à choisir une "racine carrée" de delta. Ce choix n'a pas de conséquence puisque la deuxième solution de cette équation (si delta est non nul) est donnée en considérant l'opposée de "la racine carrée" choisie.

yolof a écrit:

Non, à vrai dire je me demande d'où cette affirmation provient.

De ton cours de première, comme te l'a dit ryo : prenons aX²+bX+c (a non nul) un polynôme à coefficients réels.

aX²+bX+c=0

<=> X²+b/a.X+c/a=0

<=> (X+b/(2a))²-b²/(2a)²+c/a=0

<=> Δ = (2a)².(X+b/(2a))²

En notant Δ la quantité (b²-4ac).

On constate donc que l'existence d'une racine x0 conduit à ce que Δ est nécessairement un carré (le carré de (2ax0+b)). Et que réciproquement, si Δ est un carré (disons le carré d'une quantité δ ) alors le polynôme a une racine : (-b+δ )/(2a). On peut même dire mieux : le polynôme a exactement autant de racines que Δ a de racines carrées, et les expressions de ces racines sont données par la formule précédente.

Tel est le cours de première.


Maintenant à quel moment à-t-on utilisé le fait que a,b,c habitaient R...?
Nulle part, dis-tu ? Bingo : ce qui précède est vrai dans n'importe quel corps (du moment qu'on peut inverser 2).

En fait, ce qui précède est vrai dans n'importe quel anneau commutatif du moment qu'on suppose 2 et a inversibles (je te laisse le soin de me dire où intervient la commutativité). Ce qu'on a en plus du fait d'être dans un anneau intègre, c'est qu'on sait déjà qu'il y aura au plus deux racines (je te laisse le soin de me justifier cela aussi).

D'ailleurs je me demande même comment on fait pour réduire un pôlynome
de degré supérieur à 2 quand on ne trouve pas de racines...

Ça par contre c'est très difficile en général.

Mais dans Fp, on est aidé par le fait qu'il n'y a qu'un nombre fini de configurations.
Au pire, on pourrait tester toutes les factorisations possibles, elles ne sont jamais qu'en nombre fini.
Mais bien sûr, il y a des algorithmes de factorisation beaucoup plus efficaces que cela dans Fp.

Bonsoir Barbu,

Ton dernier post n'est pas clair. Comme tu as parlé d'anneaux auparavant, on pourrait croire que dans $\mathbb Z/4\mathbb Z$ -1 est un carré.

amicalement,

e.v.

Salut ev,

ev a écrit:

Ton dernier post n'est pas clair.

Tu t'exprimes par énigmes, j'ai eu du mal à comprendre ton reproche.


Je corrige : dans un corps de caractéristique 2, tout élément est un carré. Pour autant, tout polynôme de degré 2 n'a pas une racine. Le théorème << si le discriminant est un carré alors on peut réduire le polynôme, sinon ce dernier est irréductible >> n'est donc plus vrai dans ce cas.

(Plus généralement, si 2 n'est pas inversible, le théorème n'est pas vrai.)



PS pour fin de partie : eh oui, 15 n'est pas premier, Z/15Z n'est pas intègre. Mais X(X+1)=(X-2)(X-3) dans Z/6Z est un exemple plus simple

Bonsoir Fin de partie.

Ce n'est pas une surprise puisque $2^2 = (-2)^2 = 7^2 = 8^2$ dans $\mathbb Z/15\mathbb Z$.
Comme dit le Barbu:
"le polynôme a exactement autant de racines que $\Delta$ a de racines carrées".

amicalement,

e.v.

Bonsoir

Remarquons que Z/15Z n'est pas intègre (3x5=0), ce qui explique, comme le disait LBR, qu'on peut trouver plus de 2 racines à un polynôme de degré 2.

Alain

C'est bien ce que je dis : ne jamais essayer de contrôler un dérapage, on tombe toujours plus bas .

Comme tu l'avais noté, j'ai écrit le premier message en pensant à Fq (c'est le thème du fil après tout).

J'essaie quand même un pathétique second patch :

lbr a écrit:

si 2 n'est pas inversible, tout élément est un carré. Pour autant, tout polynôme de degré 2 n'a pas une racine.

Doit être remplacé par :
si 2 n'est pas inversible, on ne peut plus écrire la suite d'équivalences précédente, le théorème << si le discriminant est un carré alors on peut réduire le polynôme, sinon ce dernier est irréductible >> n'est donc peut-être pas vrai (et on peut aisément vérifier qu'il est effectivement faux pour F2, F4, Z/4Z, ...).

Là.

La prochaine fois que j'écris une bêtise, réponds que j'ai écrit une bêtise, pas que je suis "pas clair".
Mon égo souffrira mais ça m'évitera de sombrer encore plus dans le ridicule...

Bonsoir

Finalement la meilleur méthode pour voir ce qui se passe, est de reprendre la démonstration de la formule :
On part d'un anneau sur lequel on a l'équation : $ax^2+bx+c=0$
On veut avoir 1 comme coef de $x^2$, il faut donc que {\bf $a$ soit inversible} (en particulier $a\neq 0$).
On écrit alors $\displaystyle x^2+\frac b a x + \frac c a = 0$
On aimerait dire que c'est le début du développement de $(x+\alpha)^2 = x^2+2\alpha x+\alpha^2$.
Il faut donc que l'{\bf anneau soit commutatif} pour avoir la formule du binôme.
On a donc par identification à résoudre $\displaystyle 2\alpha = \frac b a$. Il faut donc que {\bf $2$ soit inversible}, en particulier la {\bf caractéristique $\neq 2$}
Alors on peut écrire $\displaystyle \Big(x+\frac b{2a}\Big)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac c a = 0$
Ce qu'on écrit : $\displaystyle \Big(x+\frac b{2a}\Big)^2 - \frac{\Delta}{4a^2} = 0$, en posant $\Delta=b^2-4ac$.
Il faut donc factoriser $\displaystyle X^2-\frac{\Delta}{4a^2}$.
On aimerait utiliser l'identité $u^2-v^2=(u+v)(u-v)$ dont on dispose puisque l'anneau est commutatif.
Il faut donc que $\dfrac{\Delta}{4a^2}=v^2$ soit un carré, ou encore que {\bf $\omega^2=\Delta $ soit un carré}.
Alors en utilisant notre identité : $\displaystyle 0=\Big(x+\frac b{2a}\Big)^2 - \Big(\frac{\omega}{2a}\Big)^2 = \Big(x+\frac b{2a} + \frac{\omega}{2a}\Big) \Big(x+\frac b{2a} - \frac{\omega}{2a}\Big)$
On a maintenant à résoudre un produit $uv=0$.
Si l'{\bf anneau est intègre} il y aura exactement 2 solutions : $u=0 \mathrm{\ ou\ } v=0$
Si l'anneau n'est pas intègre, il y aura en plus toutes les solutions données par les diviseurs de 0.
Supposons l'anneau intègre, nous obtenons alors 2 éléments de l'anneau : $ \displaystyle x_1 = \frac {-b- \omega}{2a}$ et $\displaystyle x_2 = \frac {-b+ \omega}{2a}$
L'anneau étant intègre on a exactement deux valeurs de $\omega$ telles que $\omega^2=\Delta$, précisément $\omega$ et $-\omega$. On constate que les valeurs $x_3,x_4$ que donne $-\omega$ sont respectivement les valeurs de $x_2, x_1$ déjà trouvées avec $\omega$.
Une réciproque (nécessaire parce qu'on a raisonné avec des "Il faut") montre immédiatement que les deux éléments $x_1,x_2$ sont solution de notre équation initiale.

Voici donc les conditions sur l'anneau et sur les coefficients du trinôme pour l'utilisation de la formule : "$\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$".

Alain

Le « ch... » de service à AD :

\fbox{\begin{quote}{\bf AD} : Il faut donc que l'{\bf anneau soit commutatif} pour avoir la formule du binôme.
On a donc par identification à résoudre $\displaystyle 2\alpha = \frac b a$. Il faut donc que {\bf $2$ soit inversible}, en particulier la {\bf caractéristique $\neq 2$}\end{quote}}

Ne confondrais-tu pas « il faut » et « il suffit » ?
A raisonner ainsi, tu risques, comme l'avait écrit la fille d'un collègue à une époque où les structures algébriques étaient enseignées en classe de seconde : « l'équation $2x = 4$ n'a pas de solution dans $\Z$ parce que $2$ n'est pas inversible dans $\Z$ ».

Bonjour

Effectivement j'avais l'esprit embrumé cette nuit en écrivant mon message !
En effet mes "Il faut" sont en fait des "Il suffit".
Ma prétention était de lister des conditions suffisantes pour pouvoir appliquer les formules bien connues, et de montrer d'où elles venaient.
Je n'avais pas la prétention de montrer qu'elles étaient minimales.
Je n'avais pas non plus la prétention de lister une CNS, contrairement à ma formulation :

AD a écrit:

Une réciproque (nécessaire parce qu'on a raisonné avec des "Il faut")

qui pouvait laisser croire le contraire, et qui est d'abord fausse ("Il faut" au lieu de "Il suffit") et une fois corrigée, ne veut plus rien dire ! :-(

Excusez-moi de ces boulettes, mais en faisant preuve de mauvaise foi : j'espérais que je serais corrigé si j'écrivais des bêtises

Alain

Barbu rasé:

La méthode de résolution habituelle consiste en gros à transformer l'équation initiale en X²-D=0.
Si D a le bon goût d'avoir une "racine carrée", disons a, on peut continuer et on obtient:
(X-a)(X+a)=0 que l'anneau soit intègre ou pas a et -a sont solutions (elles peuvent ne pas être distinctes) mais si l'anneau n'est pas intègre il peut y avoir d'autres solutions.

Pour compliquer les choses, si D a plus de deux "racines carrées" X²-D=0 peut être transformé autrement et donner d'autres solutions.

Mais si D n'a que deux "racines carrées" qu'est ce qui me garantit que je vais attraper toutes les solutions en déroulant le processus usuel dans le cas d'un anneau non intègre?

Considérons l'équation (x+u)(x+v)=0 dans Z/pqZ p,q premiers impairs
s'il existe x0 qui vérifie x0+u=p et x0+v=q alors x0 est solution de cette équation sans que jamais x0=-u mod pq ou x0=-v mod pq
(-u et -v étant des solutions évidentes)

Est ce que cette solution x0 est toujours reliée à une "racine carrée" du discriminant de cette équation?
Delta=(u+v)²-4uv=(u-v)²=(p-q)² mod pq
(s'il existe un tel x0 puisque x0+u=p et x0+v=q entraine u-v=p-q)

D'où la question:
Existe t-il p,q premiers impairs tels que l'équation X²-(p-q)²=0 mod pq n'a pas plus de 2 racines?

[Si u-v=p-q alors x0=p-u=q-v est une solution de l'équation proposée. ]

p+q, p-q, q-p, -p-q

Mon exemple est trop simple et ne marche pas.

l'équation (x+u)(x+v)=0 dans Z/pqZ p,q premiers impairs et u-v=p-q
est équivalente à x²+(u+v)x+uv=0
Le discriminant de cette équation est (p-q)²=(u-v)²

est ce que la solution x0=p-u=q-v est "issue d'une racine carrée du discriminant"?

Supposons que cette racine b existe elle verifierait:
-(u+v)+b=2(p-u) c'est à dire b=p+q mais (p+q)²=(p-q)² mod pq

Je n'utilise pas cette équivalence dans mon message d'hier 22:05 (que, une fois de plus, je t'invite à regarder, ce serait sympa).

Ce que je dis, c'est que 4a²(X+b/(2a))² = Delta est équivalent à dire que 2a(X+b/(2a)) est une racine carrée de Delta. C'est plus ou moins la définition de ce qu'est une racine carrée (la seule chose à rajouter c'est que Y²Z²=(YZ)², ce qui nécessite effectivement la commutativité, mais pas l'intégrité).

ok c'est clair maintenant.
Mon problème était psychologique:
Si on connait une racine carrée de D,disons b. b et -b ne sont peut être pas les seules racines de (X+b)(X-b)=0 dans un anneau non intègre mais si on connait une solution x0, de X²=D c est bien "une racine carrée" de D