Corps Fq

pier1
pier1
dans Algèbre
Bonjour,

On sait que si $q= p^n$ $p$ premier, alors $F_q$ est une extension de $F_p$ de degré $n$ et qu'elle est cyclique.
$F_q = F_p [\alpha]$ où $\alpha$ est racine d'un polynome irréductible de degré $n$.
Question: il y a t-il une méthode pour déterminer de polynome ?

Merci.

Réponses

  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    D'abord il est non unique, il y en a $\frac{1}{n}\sum_{d|n}{\mu(n/d)p^{d}}$.

    Ensuite, une méthode très bête consiste à lister les $p^{n-1}$ polynômes unitaires de degré $n$, à tester successivement leurs irréductibilités et à s'arrêter dès qu'on en trouve un d'irréductible.

    On peut aussi partir dans l'autre sens :
    - tous les polynômes de degré 1 sont irréductibles.
    - on classe les polynômes de degré 2 en deux familles : réductibles (ceux qu'on peut obtenir en faisant des produits de précédents) ou irréductibles (les autres)
    - on classe les polynômes de degré 3 en deux familles : réductibles (ceux qu'on peut obtenir en faisant des produits de précédents) ou irréductibles (les autres)
    - ... etc jusqu'à n.



    Nul doute qu'il existe des méthodes beaucoup plus efficaces pour obtenir un tel polynôme.
  • Ayoub
    Ayoub
    Salut :)

    Autre méthode, plus générale: remarque que ledit polynôme divise X^(p^n)-X. Factorise donc ce dernier sur Fp (via Berlekamp par exemple). N'importe quel poly de degré n va convenir.

    :)
  • Le barbu rasé
    Le barbu rasé
    Plus intelligente, plus rapide, sans doute. Mais pourquoi plus générale ?
  • Ayoub
    Ayoub
    Il en cherche un, cette méthode les lui donne tous. C'est en ce sens le "général". J'avoue m'être mal exprimé.

    :)
  • VKN9K
    VKN9K
    C'est faux, ta méthode ne fournit que les polynomes irréductibles unitaires.
  • Ayoub
    Ayoub
    En effet! M'enfin, à la multiplication près par un scalaire non nul... on est pas à ça près..
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