Groupe ayant un seul sous-groupe

TerenceK
TerenceK
dans Algèbre
Bonsoir,

que peut-on dire d'un groupe (fini) n'admettant qu'un seul sous-groupe propre ?

j'ai l'impression que ca ne marche que si G est cyclique d'ordre p^2 ... mais je n'arrive pas a le montrer.

On voit facilement que le sous-groupe propre, appelons-le H, est distingué, et que G/H n'a aucun sous-groupe propre. On voit aussi que si G est d'ordre pq où pet q sont deux premiers distincts, alors G admet a la fois des p Sylow et des q Sylow, ce qui ne peut se produire ... ce qui inciterait a penser que l'ordre de G est une puissance d'un nombre premier!

merci :)

Réponses

  • AD
    AD
    Bonsoir Thérence

    Oublies-tu que $\{1\}$ est toujours un sous-groupe propre de $G$ ? (sauf si $G=\{1\}$ )

    Alain

    [Oui je sais, la case LaTeX. :D AD]
  • gb
    gb
    Je suppose que tu veux dire que $G$ a un seul-sous-groupe non trivial $H$.

    Un groupe infini ayant une infinité de sous-groupes, $G$ est donc fini.

    Soit $x$ un élément de $G \setminus H$, il engendre $G$ qui est donc cyclique ; les sous-groupes sont alors bien connus... et ton résultat est facilement établi.
  • TerenceK
    TerenceK
    OK !! merci !

    est-ce qu'on peut connaitre facilement les groupes qui n'ont que $n$ sous-groupes non triviaux distincts ?

    bonne soirée
  • test1
    test1
    Ce n'est pas évident a priori. Il y a une réponse de Y Duval dans la RMS (Réponse 488, RMS, volume 116 (2005-2006), numéro 3, pp102-105) qui dénombre tous les groupes avec n sous-groupes pour n<=6.
  • jobherzt
    jobherzt
    Gb> Ca me semble en effet assez clair qu'un groupe infini a une infinité de sous groupe, mais je n'arrive pas a mettre le doigt sur un argument simple pour le justifier proprement, tu aurais ca sous la main ?
  • gb
    gb
    Si tout élément engendre un sous-groupe fini, cela fait un nombre infini de sous-groupes finis.
    S'il existe un élément qui engendre un sous-groupe infini, donc isomorphe à $\Z$, ce sous-groupe admet lui-même une infinité de sous-groupes.
  • Victor-Emmanuel0
    Victor-Emmanuel0
    Bonjour!

    Si tu prends un groupe infini $G$, alors pour chaque $g\in G$ tu considères $Gr(g)$, le sous-groupe engendré par $g$.

    Supposons qu'il n'existe pas de $g$ tel que $Gr(g)$ soit infini.
    Alors, comme $G$ est infini, il y a nécessairement un nombre infini de $Gr(g)$ qui seront 2 à 2 distincts, puisque $G$ est inclus dans la réunion des $Gr(g)$ (pour $g$ décrivant $G$).

    Supposons à présent qu'il existe $g\in G$ tel que $Gr(g)$ est infini. En considérant les $Gr(g^p)$ pour $p$ premier, je pense que tu obtiens une infinité de sous groupes 2 à 2 distincts de $G$.

    Bonne journée!

    [l'envoi en LaTeX ne fonctionne pas... :( ]
  • jobherzt
    jobherzt
    Merci, effectivement c'etait simple :)
  • bs
    bs
    Bonjour,

    1) Groupes ayant six sous-groupes, un exercice dans lequel Alain nous montre toute sa virtuosité : par ici

    2) "Il y a une réponse de Y Duval dans la RMS (Réponse 488, RMS, volume 116 (2005-2006), numéro 3, pp102-105) qui dénombre tous les groupes avec n sous-groupes pour n<=6.".
    C'était mentionné dans ce message, mais le lien de la RMS ne fonctionne plus.
    Si l'un d'entre-vous avait enregistré cette solution, ce serait très gentil de... ;) parce que c'était à la fois très intéressant et fort élégant.

    Merci.
  • ishak0
    ishak0
    Bonsoir
    On peut appliquer le théorème de Lagrange non ???
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