élément primitif

une methode facile (et qui se generalise) :

si en calculant la resolvante de
f=(x^2-2)(x^2-3)(x^2-5)
(de groupe de Galois
G=S2xS2xS2 car aucun relation autre que symetrique entre les racines des facteurs)
par
P=x1+x3+x5

possede un facteur irr de degre 6 (l'ordre du groupe de Galois G), c'est vrai et c'est le polynome minimal sinon c'est faut.

P=x1+x3+x5 est un invariant de H=S3xS3 (groupes symetrique).

Si H inter G est l'identité et si un facteur de la resolvante (relative au groupe de Galois) est sans racine multiple on a gagne : il est de degre 6.

Pour calculer la resolvante (relative) dans ce cas :

l'ideal maximal M (des relations entre les racines) engendre par l'ensemble triangulaire T
f1=x1^2-2, x1+x2,f3=x3^2-3,x3+x4,f5x5^2-5, x5+x6

Son groupe de decomposition est le groupe de galois de alpha ("de f" en tenant compte de l'ordre des racines)

calculer le polynome de degre 6 (produit des degres initiaux de T=ordre de G)

resultant(f1,resultant(f3,resultant(f5,x-P,x5),x3),x1)

qui est le polynome caracteristique de l'endomorphisme multiplicatif induit par P dans dans l'anneau quotien R/M.

C'est le polynôme minimal de P(alpha) (alpha 6-uplet des racines de f) s'il est irreductible (et donc simple) et dans ce cas P(alpha) est un element primitif. Sinon P(alpha) est l'element primitif d'un sous-corps.

A vous de verifier les "si" pour comprendre.

vous pouvez calculer les resultant dans tout systeme de calcul formel.


CONCLUSION : UNE CONDITION NECESSAIRE POUR AVOIR UNE ELEMENT PRIMITIF DU CORPS DES RACINE EST QUE :

G inter H
soit l'identite (et on calcule avec un invariant de H)