radical de Jacobson

Brother0 · October 2008

Bonsoir,

Connaissez-vous une démonstration pour démontrer directement que l' intersection des idéaux à droite maximaux = l' intersection des idéaux à gauche maximaux dans une $A$-algèbre, où $A$ est un anneau commutatif unitaire ? Lorsque je dis directement, c' est sans passer par la caractérisation des éléments quasi-nilpotents à droite/gauche. Merci d' avance.

bosio frederic0 · October 2008

Si l'anneau est commutatif, les ideaux a droite ou a gauche sont les memes, ainsi que les ideaux maximaux. Il n'y a donc "rien" a demontrer.

Brother0 · October 2008

Ce n' est pas l' algèbre qui est commutative mais l' anneau.

brother · October 2008

Pour être plus précis, disons que $E$ est une $A$-algèbre, où $A$ est un anneau commutatif (et pas $E$). Mais de toute façon, on se fiche de la structure d' algèbre. La question est donc, si $E$ est un anneau unitaire non commutatif pourquoi a-t-on l' égalité précédemment citée ?

Eric Chopin · October 2008

Salut,

Je pense que c'est ca que tu cherches:

http://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/radical.pdf

A+

eric

brother · October 2008

Pas vraiment, mais ce n' est pas grave.

Ayoub · October 2008

Ceci devrait pouvoir t'aider: Le seigneur des anneaux (1/7)

Bon courage.

Eric Chopin · October 2008

Salut brother,

Le document contient pourtant la preuve de l'equivalence que tu cherches
(entre autres), a savoir (5) <=> (6) ...

eric

brother · October 2008

Oui, mais ils passent tous par une caractérisation équivalente du radical. Enfin, c' était juste comme ça, pour savoir

Ayoub · October 2008

Ben oui mais on a pas trop le choix. Ca n'a rien d'évident comme résultat. Faut bien une caractérisation qui ait un peu de symétrie si on veut conclure...

christophe c · October 2008

C'est vrai que les anneaux sont très riches en énoncés simples avec des preuves assez longgues à trouver (mais simples, une fois trouvées)

Note G l'intersection des idéaux maximaux gauches, D.... droites

1) a est dans G ssi pour tout x: 1-xa a un inverse gauche (c'est la même preuve que pr les anneaux commutatifs). (énoncé dual pour "droite")

2) si 1-ab possede un inverse à gauche, alors 1-ba aussi. Idem avec "droite"

(c'est un petit calcul astucieux qu'on ne trouve pas forcément en 5mn)

3) suppose que a est dans G: soit x. 1-xa est inversible à gauche. Disons que u(1-xa)=1. Comme a est dans G, uxa est aussi dans G, et u-uxa=1, donc 1-u est dans G donc il existe v: vu=1. Avec y:=(1-xa); vu=uy=1 et donc v=y. Du coup, (1-xa) a un inverse à droite, puisque yu=vu=1.

D'après (2), 1-ax aussi a un inverse à droite. x étant quelconque, via(1), ça prouve que a est dans D.

Pour (2), ne lis pas si tu veux chercher:

(1-ab)(1+t)=1-ab+t-tab

remplace t par asb ça donne: 1-ab+asb+asbab=1-ab+a(...)b et il suffit de supposer que (...)=s-sba=s(1-ba)=1 pour conclure que (1-ab)(1+t)=1-ab+a1b=1

Pour (1) je te laisse faire

En espérant ne pas m'être gourré..

christophe c · November 2008

Je fais remonter le fil car on a là une jolie occasion (un joli exemple) d'énoncé simple et du premier ordre qui est connu et prouvé avec des outils du 2e ordre (et même du 3e si on considère l'utilisation de l'axiome du choix comme du "3e ordre")

Soit A un anneau unitaire non forcément commutatif.

a est dit "droit" quand "pour tout x il existe y tel que (1-ax)y=1"

a est dit "gauche" quand "pour tout x il existe y tel que y(1-xa)=1"

Le théorème dit: pour tout a, si a est gauche alors a est droit.

Le th de complétude and co apporte des espérances dont on a la garantie qu'elles sont vraies

On peut travailler formellement:

on rajoute un symbole de fonction f, une lettre "a" et une lettre "b" et l'axiome:

"pour tout x: (1-ax).f(x)=1"

ainsi que les axiomes d'anneau unitaire (pas de commutativité)

Comme le théorie est purement universelle, il y a un ensemble fini de termes tels que la conjonction des énoncés "t(1-ba) différent de 1" est contradictoire. Les termes sont fabriqués avec f, a, b. Autrement dit ils sont à peine plus compliqués que des polynomes.

Ce que demande Brother existe donc: une preuve de niveau 4e que "1-ba" est inversible à gauche. Ce qu'il y a ci-dessus prouve qu'il existe une telle preuve. Ce serait bien sympa de la voir..

ccnc · November 2008

En fait, voila une preuve du 1er ordre pour Brother:

1-ax inversible à droite.
(1-ax)u=1
u-axu=1
u=1+axu=1-a(xu.(-1))
u inversilbe à droite
uw=1
w=(1-ax)uw=1-ax
u(1-ax)=1
u-uax=1

s:=xua
(1+s)(1-xa)=1-xa+s-sxa=1-xa+xua-xuaxa=1-xa+x(u-uax)a=1-xa+x1a=1
(1-xa) inversible à gauche avec 1+s comme inverse

christophe c · November 2008

J'ai fait une petite page pour "immortaliser" ces petites remarques typiques du fil sur une intuition vague, qui devient un théorème qui finit par être prouvé avec des enchainements de signes "=" à un niveau 4e...

http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/dansunanneaunoncommutatif.php

christophe c · May 2011

Les souvenirs douloureux étant difficilement oubliables, je me rappelais qu'il y avait eu un unique post où j'avais fait un calcul en 6ans de forum, je me souvenais du sujet, mais plus du tout de quel fil ça pouvait être. Je viens de le retrouver. Je ne me reconnais vraiment pas... A l'époque, j'ai dû y passer 10H ou alors pecho ça quelque part, mais je vois pas où...

J'en profite pour faire remonter le fil et demander s'il n'y a pas plus simple, genre une preuve sans AUCUN calcul que le Jacobson gauche et le droit coincident. Ci-dessus, même dans la partie "preuve avec coupure", il y a un calcul terrible. Si on est perdu dans le désert et que notre vie en dépend, on n'est pas sûr de le retrouver, je pense.

Une preuve vraiment purement conceptuelle, quitte à jongler avec du quatrième ou cinquième ordre même plutot que ça?

radical de Jacobson

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