Galois

Ilor
Ilor
dans Algèbre
Soit G le groupe Z/2Z x Z/2Z, et G' le groupe Z/4Z


Vous pouvez me donner une extension galoisienne de Q à groupe de Galois isomorphe à G
Et une autre à groupe de Galois isomorphe à G'

Merci pour vous.

Réponses

  • Ayoub
    Ayoub
    Salut :)

    Pour le premier, $Q(\sqrt{2},\sqrt{3})=Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ semble convenir...
    Pour Z/4Z, il me semble que $Q(2^{\frac{1}{4}})$ convient.

    :)
  • vincentpasloggue
    vincentpasloggue
    La première proposition d'Ayoub marche bien : effectivement, c'est une extension galoisienne de groupe Z/2Z \times Z/2Z.

    Par contre la deuxième extension n'est pas galoisienne : l'extension n'est pas normale puisque le poylnôme irréductible X^4 -2 sur Q a une racine 2^{1/4} dans Q(2^{1/4}) mais pas toutes ( par exemple i2^{1/4}).

    Vincent
  • -Omar-
    -Omar-
    Bonjour,

    Le polynôme $X^4+4X^2+2$ admet le groupe cyclique ${\mathbb Z}/4{\mathbb Z}$ comme groupe de Galois sur ${\mathbb Q}$.

    Amicalement
    Omar
  • Ayoub
    Ayoub
    Oui effectivement, au temps pour moi. Quel idiot! J'aurais mieux fait de parler en terme de corps de décomposition, ça m'aurait évité cette erreur funeste.

    :)
  • slim
    slim
    \begin{center} $ \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})= \Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ \end{center}
    Quelqu'un pourrait me clarifier cette égalité, je suis nouveau en théorie de Galois et j'ai appris que $\sqrt 2 + \sqrt 3$ est un élément primitif de l'extension $\Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$, mais je ne comprends pas l'égalité on l'a mis comme exemple du théorème suivant :
    Une extension finie de $K$ est simple $\Longleftrightarrow $ l'ensemble des corps intermédiaires entre $K$ et $E$ est fini

    Merci beaucoup

    [La case LaTeX. AD]
  • AD
    AD
    Bonsoir Slim

    Clairement $\sqrt{2}+\sqrt{3} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) $, donc $ \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$
    Pour l'inclusion dans l'autre sens, posons $\omega = \sqrt{2}+\sqrt{3}$
    Alors $\omega - \sqrt{2}=\sqrt{3}$ donc en élevant au carré, $\omega^2-2\omega\sqrt 2 + 2 = 3$ d'où tu tires $\sqrt 2 = \frac 1 2 \omega - \frac 1 {2\omega} \in \Q(\omega)$
    pareillement $\sqrt 3 \in \Q(\omega)$.
    Finalement $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) \subset \Q(\omega)$.
    D'où l'égalité.

    Alain
  • slim
    slim
    merci beaucoup

    je veux démontrer qu'un homomorphisme de corps est injectif

    1/déja un homomorphisme de corps c'est un homomorphisme d'anneaux et il conserve l'élement neutre de la multiplication d'ou soit phi cet homomorhispme

    on a phi(1) =1.

    2/ On a aussi que phi(0)=0 donc on doit montrer que pour tout autre élement non nul y ,phy(y)=/= 0non?

    or on a que par exemple phi(2)= phi(1)+phi(1)=2phi(1)=2*1= 2et si ker(phi) = K , alors phi(1)=0 or c'est impossible de même pour phi (2) est ce juste ? merci d'ou je conclue que Ker(phi) = {0} ou (0) car j'ai que phi(0)= 0 mais j'arrive pas a montrer clairement que phi(0) c'est par définition du morphisme non ?

    (question bete a une heure tardive c'(est mauvais signe merci )
  • AD
    AD
    Bonsoir Slim

    Reprenons calmement.
    Soit $f : K \rightarrow L$ un morphisme de corps.
    Comme tu dis, c'est un morphisme d'anneaux, donc $f(0)=0$ et $f(1)=1$.
    Montrons que $f$ est injective : Soit $x\in \ker f$, c'est à dire $f(x)=0$.
    Par l'absurde, {\bf supposons} que $x\neq 0$ alors $x$ admet un inverse $y\in K$ (on est dans un corps) tel que $1=xy$. Prenons l'image par $f$
    $1=f(1)=f(x)f(y)=0.f(y)=0$. {\bf Contradiction}, dans un corps : $1\neq 0$. {\bf Donc} $x=0$.
    Ainsi $\ker f=\{0\},\ f$ est injective.

    Alain
  • slim
    slim
    merci ouais calmement c'est le mot lol
  • bach14
    bach14
    Bonjour slim
    on peut faire une autre methode

    soit f : K
    L un morphisme de corps non nul.

    ker f est un ideal de K, mais on sait que les seuls ideaux dans un corps K sont {0} et K lui meme. donc Ker f ={0} ou Ker f= K. mais f non nul alors forcement kerf different de K alors Ker f ={0} et on a gagné.
  • slim
    slim
    f(0)=0 c'est juste une conséquence directe du fait que f ets un morphisme d'anneaux? pourtant dans la définition d'un morphisme d'anneauxon dit toujours f(1) = 1 ou f(e)=e' tel que e, e' sont les éléments neutres des groupes multiplicatifs mais j'ai jamais vu f(0) = 0
  • slim
    slim
    merci bach1 ,

    j'ai vu la même que la votre ds un cours sauf que la justification suivante me perturbe :il dit Ker(f)=/=K car f(1)=1 ,en quoi cela intervient pour concluyre que ker(f)={0} et non pas K

    merci
  • AD
    AD
    Bonjour Slim

    N'oublie pas que dans la définition du morphisme d'anneaux il y a que c'est un morphisme du groupe additif et à ce titre f(0)=0.

    Alain
  • AD
    AD
    Re-bonjour Slim
    Slim a écrit:
    il dit Ker(f)=/=K car f(1)=1, en quoi cela intervient pour conclure que ker(f)={0} et non pas K

    Si ker(f)=K, alors comme 1€K on obtient f(1)=0 mais on a f(1)=1 (et 1=/=0 parce qu'on est dans un corps) donc ker(f)=/=K

    Alain
  • slim
    slim
    merci à tous et double merci a Ad
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