équation non résoluble par radicaux
Réponses
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$X^5-10X+5$ dans $\Q[X]$ \lien{http://www.univ-rouen.fr/LMRS/Persopage/Lanchier/files/lec106.pdf}
$X^5+aX^4+bX^3+cX^2+dX+e$ dans $\Q(a,b,c,d,e)[X]$
Le tout est de trouver un polynôme qui a le bon groupe de Galois.
[Activation du lien.
AD] -
Tu as aussi des exemples dans le cours de Chamberloir (Algèbre corporelle) qu'on trouve via google (avec les preuves).
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$X^n+X+1$ a pour groupe de Galois $S_n$ sur $\mathbb{Q}$, donc est non résoluble par radicaux dès que $n\geq 5$
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bonjour
notre ami GreginGre a sans doute généralisé un peu vite
la propriété de non-résolubilité par radicaux
des polynômes $x^n + x + 1$ pour n supérieur ou égal à 5
en fait l'équation $x^5 + x + 1 = 0$
admet une seule racine réelle a comprise entre - 1 et 0
(le tableau des variations l'indique aisément)
et il est possible de déterminer par radicaux cette racine:
$a = \frac{1}{3} - rac cubique[\frac{25}{54} - \frac{1}{2}\sqrt\frac{23}{27}] - rac cubique[\frac{26}{54} + \frac{1}{2}\sqrt\frac{23}{27}]$
en effet on s'aperçoit que j et j² (racines cubiques complexes de 1)
sont racines évidentes de l'équation du cinquième degré d'où la factorisation:
$x^5 + x + 1 = (x² + x + 1)(x^3 - x² + 1)$
et l'équation du troisième degré qui résulte de la division polynomiale
admet une seule racine réelle a, car son discriminant est positif
la formule de Cardan donne cette racine réelle a avec des radicaux
cordialement -
Pardon, me suis trompé dans les signes...
Le bon polynôme est $X^n-X-1$, et son groupe de Galois est bien $S_n,n\geq 5$. C'est un résultat dû à Selmer. -
Soient les fonctions suivantes : $$
\begin {align*}
U_{k}& : x\mapsto x+k \\
D_{l}& : x\mapsto lx \\
T_{m}&: x\mapsto x^m
\end{align*}
$$ On dira qu'un polynôme $P$ est élémentairement décomposable s'il s'exprime comme composition d'un nombre fini de fonctions de ce type (on les appellera "fonctions basiques").
J'ai quelques questions :- Si un polynôme est élémentairement décomposable, l'équation $P(x)=0$ est-elle toujours résoluble par radicaux ? Qu'en est-il de la converse ?
- Tout polynôme $Q$ peut-il s'exprimer comme la composition de fonctions basiques et de polynômes non élémentairement décomposables ? Si oui, y a-t-il unicité d'une telle écriture ?
-
Salut
1) Je dirai que oui, c'est vrai. C'est surtout parce qu'on ne peut pas multiplier par "x" donc en fait on ne fait que des combinaisons linéaires et des élévations à la puissance... Ca doit être traitable via une 'tite récurrence sur le nombre d'utilisation total de U,D et T.
La réciproque est trivialement fausse: x²-x-1 ne peut pas vraiment se mettre sous la forme de combinaison linéaire de U,D et T il me semble...
2) Il me semble que oui, ça semble assez plausible mais j'ai vraiment de démo. Pour l'unicité je suis sceptique: Les applications U et D étant inversibles généralement on peut se répeter pas mal de fois pour rien. C'est pas très dur de décomposer différemment 4X+2 avec U et V... -
bonjour
vous avez dit que toutes les quintiques de la forme
x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 sont pas resolubles par radicaux dans Q(a,b,c,d,e)
j ai des equations de cette forme qui sont soluble par radicaux qu est ce que vous en dites
merci -
Bonjour mossallam.
J'en dis qu'avant de réveiller un sujet clos depuis quatre ans, il faut lire attentivement chaque contribution : personne n'a prétendu qu'il n'existe pas d'équation de degré cinq non résoluble par radicaux. Sylvain demandait justement un contre-exemple.
Bruno -
Mossalam a écrit : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,471803,776050#msg-776050
J'en dit qu'il n'y a pas de contradiction. -
bonjour
j'aimerais bien savoir s'il y a une mehtode pour resoudre l'equation
x^5+26x^4+155x^3-185x^2+10x+21=0
merci -
Bonjour
Je voudrais savoir si toutes les quintiques qui contiennent trois racines réelles et deux racines imaginaires ne sont pas résolubles par radicaux.
Merci -
Bonsoir,
je suis tenté de dire ben non : $x^5-4x^4+4x^3-4x^2+3x=0$ qui admet pour racines $0;1;2;i;-i$
Edit : j'ai un doute. Résoluble par radicaux : c'est qu'on peut trouver des racines dans le corps engendré par les coefficients ?
S -
@samok:
On dit qu'un polynôme $P\in k[X]$ est résoluble par radicaux, si pour toute racine $\alpha$ de $P$ (dans une cloture algébrique de $k$ fixée), il existe une tour d'extensions $k_0=k\subset k_1\subset\cdots\subset k_r$, telle que $\alpha\in k_r$ et pour tout $i\geq 0, k_{i+1}=k_{i}(\sqrt[m_i]{a_i}), a_i\in k_i$.
Mais je suppose Mossallamalmansour supposait implicitement le polynôme irréductible sur $\Q$, donc ton contre-exemple n'en n'est pas un. -
En fait, le groupe de Galois $G$ d'une quintique associée à un polynôme irréductible est un sous-groupe transitif de $S_5$, donc il contient un $5$-cycle. Comme il y a deux racines complexes conjuguées, $G$ contient une transposition.
Comme $5$ est premier, $S_5$ est engendré par un $5$-cycle et une transposition. Bref, $G=S_5$ qui est non résoluble, donc la réponse à la question de Mossallamalmansour est oui.
[Edit: mise en valeur de l'irréductibilité, nécessaire pour faire marcher l'argument, of course.] -
bonjour
l'equation suivante admet trois racines reels et deux racines complex
x^5+42x^4+727x^3+6321x^2+27064x+45045=0
et j'ai pu la resoudre par radicaux
je vous mercie de me donnez votre avis -
Bonjour.
Comme le polynôme proposé est réductible sur $\Q$ car $X^5+42\,X^4+727\,X^3+6321\,X^2+27064\,X+45045 = (X+5)(X+7)(X+9)(X^2+21X+143)$ la démonstration de Gregingre ne s'applique pas et l'exemple proposé ne contredit pas le résultat donné par Gregingre.
Bruno -
Plus généralement, si $f\in\Q[X]$ est un polynôme irréductible de degré $p$ premier avec exactement deux racines compelxes conjuguées, alors le groupe de Galois de $f$ est $S_p$. En particulier, l'équation $f=0$ est non résoluble par radicaux dès que $p\geq 5.$
La démo est la même que celle donnée plus haut. -
bonsoir
j'ai trouve dans mes cherches sur la resolubilite des equations polynomiales que toutes les quintiques de la forme
x^5+a^4 x+a^5=0
sont resoluble par radicaux
est qu il y a de contradicion
merci -
Est-ce que tu lis au moins les réponses que l'on te donne, et est-ce que tu réfléchis aux hypothèses ?
Si oui, tu peux y répondre tout seul à ta question.
A partir du moment où on te donne un théorème valable sous certaines hypothèses, et que tu trouves un exemple qui te contredit le résultat, c'est simplement que certaines hypothèses dans ton cas ne sont pas vérifiées. C'est de la logique niveau 1ère année (ou tout simplement du bon sens).
Soit ton polynôme est réductible, soit il n'y a pas exactement deux racines complexes conjuguées. Je pourrais effectivement regarder ce qu'il se passe dans ton cas, mais le fait que tu n'essayes même pas de réfléchir par toi-même ne m'en donne pas très envie. -
Et en l'occurence en posant y=x/a ca se ramene a y^5+y+1=0 qui a ete etudie quelques posts plus hauts :)o
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Greg a écrit:A partir du moment où on te donne un théorème valable sous certaines hypothèses, et que tu trouves un exemple qui te contredit le résultat, c'est simplement que certaines hypothèses dans ton cas ne sont pas vérifiées.
Ou plus probablement, qu'il y a une contradiction dans ZF, comme on le soupçonne depuis quelques années sur le forum...
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Eh oui, avec l'algèbre il faut s'attendre à tout !
Bruno -
Bonjour
Je propose un autre exemple qui admet trois racines réelles et deux racines complexes et irréductible.
X^5+(1138/91)X^4+(493359/8281)X^3+(7646761/57967)X^2+(52335760/405769)X+(176121/4459)=0
et il est soluble par radicaux
Merci de me donner votre avis -
Il n'est pas irréductible sur $\mathbb{Q}$, en tout cas.
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Ca va bien, mossallam si tu veux continuer à patauger sans comprendre ce que t'a écrit Gregingre, je vais te bannir du forum. Reviens quand tu auras compris ou pose une question différente car tes soi-disant contre-exemples n'en sont pas.
Bruno -
bonsoir
j e voudrais savoir si il ya des algorhitme ou des formules pour factoriser un polynomes de degre n a deux polynomes de dgre n/2 ou pas possible
merci -
Bonjour à tous,
Je me permets de poser une question sur ce fil puisqu'il s'agit du même sujet :
Est ce qu'une équation algébrique résoluble par radicaux, par exemple, une équation particulière : $ a_{n} x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots a_1 x + a_0 = 0 $ à coefficients dans $ \mathbb{R} $ tel que $ a_{0} > 0 $, qu'on suppose résoluble par radicaux, peuvent avoir des racines : $ x_i $ qui s’expriment à l'aide des $ 4 $ opérations élémentaires, et en fonction des coefficients $ a_j $ et des racines $ n $ - ièmes de l'unité mais aussi des nombres transcendants, indépendants des $ a_n $ ?
Par exemple une formule de la forme : $ x_i = \pi ( \sum_{j,k} a_{j}^2 a_{k} ) + i \ \mathrm{exp} ( 2 ) \sqrt{a_{0}} $ ( Juste à titre d'exemple ).
Merci d'avance. -
Beh, ça veut dire quoi résoluble par radicaux?
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La définition de : "résoluble par radicaux",est celle que j'ai inclus dans ma question ( sans entrer dans un débat théorique plus profond ). :-)
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D'accord, alors ma question était un peu stupide, mais, si on remplace : nombres transcendants par nombres algébriques, est ce que l'équation est résoluble par radicaux ?
Merci d'avance. -
Si les coefficients de l'équation sont dans $\mathbb{R}$ alors toutes ses solutions sont bien exprimables par radicaux et les 4 opérations puisque elles sont toutes de la forme $a+bi$ avec $a,b$ des réels éventuellement nuls (théorème fondamental de l'algèbre).Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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Sauf erreur : $ X^5 - X + 1 = 0 $ est à coefficients dans $ \mathbb{R} $, mais elle n'est pas résoluble par radicaux, donc, ces solutions ne sont pas exprimables seulement par radicaux et les $ 4 $ opérations et les racines $ n $ - ièmes de l'unité..
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Pablo,
ça veut dire quoi, pour toi, "radicaux" ?ces solutions ne sont pas exprimables seulement par radicaux et les 4 opérations et les racines n - ièmes de l'unité..
Et tu n'as pas répondu à la qustion de Mtnl : "ça veut dire quoi résoluble par radicaux?"; ta réponse "La définition de : "résoluble par radicaux",est celle que j'ai inclus dans ma question" ne voulant rien dire, puisque tu n'avais pas donné de définition dans ta question.
Avant de poser des questions avec des mots techniques, il serait bon de savoir ce qu'ils veulent dire. On ne peut pas comprendre la réponse à une question si on ne comprend pas la question ... -
Les radicaux ont la forme suivante : $ \sqrt[n]{a_{i}} $.
Résoluble par radicaux signifie que les solutions se mettent sous la forme d'une expression qui inclus les $ 4 $ opérations élémentaires, les racines $n$ - ièmes de l'unité, les coefficients de l'équation, et les radicaux, et rien que ça il me semble. Peut être qu'il faut inclure les éléments du corps de base. Par exemple : $ X^5 - X + 1 \in \mathbb{Q} [X] $, alors il faut inclure les élément de $ \mathbb{Q} $, les solutions appartiennent à une extension $ L / \mathbb{Q} $ qui est un corps de racines sur $ \mathbb{Q} $.. :-)
Bon, l'idée est encore floue pour moi, c'est pourquoi je demande votre aide.
Merci d'avance. -
Donc tu demandes si une équation résoluble par radicaux est résoluble par radicaux? Je pense que oui.
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Pablo:
Toutes les équations polynomiales à coefficients dans $\R$ sont résolubles par radicaux.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Non. :-D
Je demande si une équation non résoluble par radicaux, par exemple : $ X^5 - X + 1 \in \mathbb{Q} [X] $ pourrait posséder des solutions dans $ \mathbb{C} / \mathbb{Q} $ qui pourraient inclure, en plus des radicaux, des racines n-ièmes de l'unité, des coefficients de l’équation $ a_i $ ainsi que les éléments de $ \mathbb{Q} ( (a_i)_{i=0 , 1 , \dots , n } ) $, des éléments transcendants de type $ \pi , e , ... $ etc ? si la réponse est négatif, les solutions peuvent - elles s'exprimer à l'aide de certains éléments algébriques sur $ \mathbb{Q} $ qui n'appartiennent pas $ \mathbb{Q} ( (a_i )_{i=0,1, \dots , n} ) $ ?.
Merci d'avance. -
Vite fait, après j'arrête d'alimenter le troll:
-Le corps dans lequels vivent les coefficients de ton polynôme vient de changer (on vient de passer de $\mathbb R$ à $\mathbb Q$). Dans ton dernier message $\mathbb{Q} ( (a_i)_{i=0 , 1 , \dots , n } )$ n'est pas dur à déterminer (et encore je suppose que les $a_i$ sont les coefficient de ton polynôme).
-Sais-tu qu'il y a "un peu " plus de nombres transcendants que $\pi$ et $e$? Pourquoi eux? Pourquoi ne pas tous les prendre?
Bref, encore une question pas claire, donc pas de réponse à apporter.
Depuis 5 ans que tu traines ces équations algébriques, avec les mêmes questions, ça a toujours pas avancé: tu ne sais pas ce qu'est une équation polynomiale résoluble par radicaux. -
Un peu d'indulgence stp.
Je me demandais si c'était possible que ça inclus aussi des nombres transcendants "de type" $ \pi $ ou $ e $. Evoquer $ \pi $ et $ e $ n'est qu'à titre d'illustration. Ma question est claire, c'est toi qui complique les choses pour je ne sais quel but. -
Pablo:
Si tu lisais les choses dans l'ordre tu saurais que les seuls polynômes irréductibles de $\R[X]$ sont les polynômes de degré 1 et 2.
Ta dernière question est incompréhensible.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
@FdP :
Est ce qu'une équation algébrique résoluble par radicaux, par exemple, une équation particulière : $ a_{n} x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots a_1 x + a_0 = 0 $ à coefficients dans $ \mathbb{Q} $ tel que $ a_{0} > 0 $, qu'on suppose résoluble par radicaux, peuvent avoir des racines : $ x_i $ qui s’expriment à l'aide des $ 4 $ opérations élémentaires, et en fonction des coefficients $ a_j $ et des racines $ n $ - ièmes de l'unité mais aussi des nombres transcendants, indépendants des $ a_n $ ?
Par exemple une formule de la forme : $ x_i = \pi ( \sum_{j,k} a_{j}^2 a_{k} ) + i \ \mathrm{exp} ( 2 ) \sqrt{a_{0}} $ ( Juste à titre d'exemple ).
Je n'ai pas compris ce que tu veux dire là.FdP a écrit:Si tu lisais les choses dans l'ordre tu saurais que les seuls polynômes irréductibles de $\R[X]$ sont les polynômes de degré 1 et 2.
$ X^5 - X + 1 \in \mathbb{Q} [X] $ peut-il avoir des solutions qui s'écrivent à titre d'exemple comme : $ x_i = \pi ( \sum_{j,k} a_{j}^2 a_{k} ) + i \ \mathrm{exp} ( 2 ) \sqrt{a_{0}} $ oui, ou non ? Pourquoi ?
Merci d'avance. :-) -
Tu ne sais pas ce que signifie qu'un polynôme est irréductible?
Par exemple, $x^5-x+1$ n'est pas irréductible dans $\R[X]$
Je n'ai toujours rien compris à ta question.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Bonjour,
Pablo, tu dis que l'équation $X^5-X+1=0$ n'est pas résoluble par radicaux.
Saurais tu le démontrer ?
Cordialement,
Rescassol -
Pablo,
20 ans de mathématiques et tu ne t'es pas encore rendu compte que tout nombre "s'exprime par radicaux" dans le sens que tu dis !! C'est énorme ! Ton cerveau te sert à quoi ?
Par exemple $\pi=\sqrt{\pi^2}$
A force de ne pas vouloir apprendre les mathématiques de base, tu poses, et reposes, et reposes encore les mêmes questions bêtes. Tu cherches vraiment à passer pour un idiot savant. Si c'est ton choix (tu trolles) tant pis pour toi; si ce n'est pas fait exprès, arrête. -
Rescassol,
Pablo ne le "dit" pas, il le répète pour l'avoir lu. Il a le cerveau encombré de "connaissances" de ce type, de formules cabalistique dont il croit que les écrire c'est faire des maths ...
Il a par ailleurs de vraies connaissances dans certains domaines, et est capable d'aider un lycéen ou un étudiant. Mais il lui manque et les connaissances de base (licence de maths) et l'envie d'apprendre les bases nécessaires à la compréhension de ce qui l'intéresse.
Cordialement.
Source : Personnelle, des années de lectures de ses messages. -
Concernant le polynôme $ P(X) = X^5 - X + 1 $, c'est @Greg qui me l'a affirmé une fois ça fait des années sans étayer ses propos. Comme vous le savez, la plupart d'entre vous ne se donne pas la peine de donner des réponses claires aux questions posés. C'est normal qu'on finit par ne rien comprendre. Pour vous, vous vous dites c'est la bonne méthode pour progresser qui malheureusement n'a aucun fondement, car vous ne comprenez pas que $ 90 \% $ des personnes qui se trouvent devant ces contraintes que vous imposez finissent par ne rien capter, et au contraire, ça ne fait que renforcer leurs intrigues. Alors, si je ne comprends pas la théorie de Galois, c'est parce que c'est vous la cause principale de ça. Parce que vous n'avez pas l'esprit d'un pédagogue.
Avec tout mon respect. -
La responsabilité t'incombe à 100% à toi seul. Tu ne poses pas généralement des questions pour approfondir une question, non pas du tout, mais à la manière d'un petit enfant qui pose des questions sur tout et sur rien comme, mais d'où vient le vent au gré de ta fantaisie.
La théorie de Galois n'est pas enseignée en première année de licence (en licence?), ce n'est pas pour garder un secret plus longtemps. :-D
Rien que donner un sens à l'expression "résoluble par radicaux" n'est pas si évident que cela.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
D'accord, je comprends ce que tu veux dire maintenant.FdP a écrit:Tu ne sais pas ce que signifie qu'un polynôme est irréductible?
Par exemple, $x^5-x+1$ n'est pas irréductible dans $\R[X]$
Donc, @Greg veut dire que $ P(X) = X^5 - X + 1 $ est réductible dans $ \mathbb{R} [X] $, mais pas dans $ \mathbb{Q} [X] $, non ?
Et pourquoi $ P(X) = X^5 - X + 1 $ n'est pas réductible dans $ \mathbb{Q} [X] $ ?
Merci d'avance. -
Pablo:
Tu ouvres un cours à la page sur les méthodes pour prouver l'irréductibilité d'un polynôme dans $\Bbb{Q}[X]$
Il y a deux ou trois méthodes qui sont standard et d'autres moins, il en est souvent question dans le forum.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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