Théorie de Galois - Résolvantes

La réponse à la question initiale est : Oui.

C'est démontré dans l'article "Lagrange Resolvents" (Arnaudies Valibouze)
ou "Resolvante de Lagrange" (version longue en Francais)
(voir ma page WEB)

Les degres (et les groupes de Galois) des facteurs d'une resolvante ne dependent que du groupe de Galois
et du groupe stabilisant l'invariant.
Si on etablit la matrice des partitions (resp. groupes) repertoriant ces degres (groupes), on montre que ses lignes sont distinctes :
Donc : on peut toujours calculer un groupe de Galois avec des resolvantes. C'est beaucoup plus rapide avec les matrices des groupes (qui servent aussi au probleme inverse). Les matrices des groupes fournissent TOUS LES ALGORITHMES POSSIBLES POUR DETERMINER LE GROUPE DE GALOIS AVEC UNE RESOLVANTE.

Pour ce qui est du calcul des resolvantes, de nombreuses methodes existent. Celles dites absolues ne relevent que du theorème fondamental des fonctions symetriques et pour les relatives (de plus bas degre) releve d'une generalisation
du theoreme de Galois et du fondamental evoque plus haut. La il faut utiliser ce que j'ai appelé les ideaux de Galois (galoisien) : voir mon article Bulletin Belge (1999) et celui avec Aubry (JSC 2000).





Dans Pari : la methode choisie (qui est un sous cas des matrices de groupes) et de tester l'inclusion du groupe de Galois dans un sur-groupe et de descendre dans le graphe (methode de Stauduhar, 1973). La methode choisie pour calculer les resolvantes est numerique (et oui : sans les ideaux galoisien, nous n'avons que ca!) et restreinte aux coefficients numeriques avec le pb qui intervient lorsque les racines sont proches. Mais on est content d'avoir la fonction Galois de pari.

Vous avez aussi des calculs de groupe de Galois sous Maple (McKay-Soicher utilise une sous matrice de la matrice des partitions)

Si vous voulez calculer des resolvantes : utilisez mon module Symmetry sous Maxima (libre) que vous pouvez telecharger seul ou avec SAGE (que je vous recommande d'utiliser car avec vous avez GAP, theorie des groupe, Maxima, Pari, ... et c'est interfacable avec les systèmes payants).


Dans l'article que j'ai publie en 2008 dans Acta Arithmetica vous trouverez tout cela explique tres simplement.

Ce qui est interessant ce n'est pas de calculer seulement le groupe de galois mais aussi le corps des racines du polynomes ou plus exactement un ensemble triangulaire engendrant un ideal de relations entre les racines (le groupe de Galois est son groupe de decomposition facilement calculable).

J'espere que cette reponse vous va.

Si vous voulez en savoir +, ecrivez-moi. Je ne suis pas une habituée de ce site et y suis tombée par hasard.