Séries convergentes ?

Resalut,
Je reposte pour corriger une erreur (sans conséquence) dans le fichier joint,
merci.

Bonjour Gérard,
pour la première question, les suites $x_k$ et $y_k$ se différencient par leur limite : $y_k$ tend vers zéro, tandis que $x_k$ tend vers $X$, un nombre que je sais calculer. (Un calcul algébrique, indépendant des séries, me donne $X=0$). Ta question est légitime, car l'Algèbre donne : $x_k=y_k$. Soit, mais, je veux le prouver par un calcul de limite. Ainsi, si la série alternée en $(-1)^kx_k$ converge, la limite de son terme général, en l'occurence la limite de $(-1)^kX$, est nul, donc $X=0$. Peut-on démontrer que cette série alternée est convergente ? Telle est ma question !
Pour la deuxième question : La somme de deux séries convergentes est bien une série convergente, n'est-ce pas ?
Merci.

Bonjour,
Dans le fichier ci-joint, les questions. Merci. (Je n'arrive pas à poster en latex)

Bonjour, Gérard,
Je ne peux pas être plus explicite. Mais, tu me surprends, car tu as donné $S_1$ avant que je ne le fasse. Je joinds de nouveau un fichier, car il semble que la solution analytique soit $x_ky_k=0$. Je n'ai pas donné $S_1$, mais, je confirme, Gérard, que c'est bien $x_1-X$ (Il faudra que tu m'expliques pourquoi, si tu as le temps. De mon côté, je trouve bien $S_1=x_1-X$). Merci.

Bonjour, j'ai corrigé les fautes de latex (il n'est pas commode d'ouvrir à chaque fois un fichier) : nous avons deux séries convergentes
$$\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_ky_k})}=y_1$$
(j'ai compris, Gérard, je calcule $S_1$ comme toi)
et $$\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^k\sqrt{x_ky_k})}$$ Si, en plus
$$x_{k-1}-x_k=y_{k-1}-y_k=\sqrt{x_ky_k}$$
avec $$\lim_{k\longrightarrow{{\infty}}}{(y_k)}=0$$ donc
$$\sum_{k=1}^{k={\infty}}{((-1)^ky_k)}$$
converge. Peut-on en dire de même de
$$\sum_{k=1}^{k={\infty}}{((-1)^kx_k)}$$
C'est ce que je vais essayer de savoir. Les séries suivantes
convergent.
$$\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_ky_k})}+\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^k\sqrt{x_ky_k})}$$
et
$$\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_ky_k})}-\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^k\sqrt{x_ky_k})}$$
si
$$\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_ky_k})}+\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^k\sqrt{x_ky_k})}=S_1+S_2$$
et
$$\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_ky_k})}-\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^k\sqrt{x_ky_k})}=S_1-S_2$$
alors
$$\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_{2k}y_{2k})}}=S_1+S_2=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k={2m}}{((-1)^{k+1}x_k)})}$$
$$=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k={2m}}{((-1)^{k+1}y_k)})}$$
et
$$\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_{2k+1}y_{2k+1})}}=S_1-S_2=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=2}^{k={2m+1}}{((-1)^{k+1}x_k)})}$$
$$=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=2}^{k={2m+1}}{((-1)^{k+1}y_k)})}$$
on connait
$$S_1=y_1$$
on peut en déduire
$$S_1+S_2=y_1+S_2=S_1-S_2+x_1-X=y_1-S_2+x_1-X\Rightarrow{2S_2=x_1-X}$$
en retranchant
$$\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=2}^{k={2m+1}}{((-1)^{k+1}x_k)})}-\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k={2m}}{((-1)^{k+1}x_k)})}=X-x_1=S_1-S_2-S_1-S_2=-2S_2$$
$$=\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=2}^{k={2m+1}}{((-1)^{k+1}y_k)})}-\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k={2m}}{((-1)^{k+1}y_k)})}=-y_1$$
$$\Rightarrow{\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{((-1)^{2m+2}x_{2m+1}-x_1)}=X-x_1=-y_1=-2S_2}$$
Voilà, je crois que vous comprenez mieux mes questions : y a-t-il un moyen de prouver que
$X-x_1=-x_1=-y_1=-2S_2$ ? C'est-à-dire $X=0$ ? Alors déjà
$$S_1+S_2=y_1+x_1-X$$
$$S_1-S_2=y_1-x_1+X=0$$
donc
$$S_1=S_2=x_1-X=y_1$$
c'est tout ce que l'analyse semble donner. Il y a aussi la
conséquence
$$S_1-S_2=0=\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_{2k+1}y_{2k+1})}}$$
avec $x_ky_k\geq{0}$, d'où $x_ky_k=0$, pour tout $k$, donc l'un
des
premiers termes est nul $x_1y_1=0$. L'algèbre donne un résultat
plus général, à savoir $x_1y_1(x_1-y_1)=0$. En effet, si $x_1=y_1$, il n'y
a plus de problème.

Alors, merci Gérard, il y a effectivement un $2$ avant la sommation, mais c'est sans conséquence importante. Je reposte mon texte.
Nous avons deux séries convergentes
$$\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_ky_k})}=y_1\quad\quad{et}\quad\quad{\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^k\sqrt{x_ky_k})}}$$ Si, en plus
\\$x_{k-1}-x_k=y_{k-1}-y_k=\sqrt{x_ky_k}$
\\ avec
\\$\lim_{k\longrightarrow{{\infty}}}{(y_k)}=0$
\\ donc
\\$\sum_{k=1}^{k={\infty}}{((-1)^{k+1}y_k)}$ \\
converge. Peut-on en dire de même de
\\$\sum_{k=1}^{k={\infty}}{((-1)^{k+1}x_k)}$ C'est ce que je vais
essayer de savoir. Les séries suivantes convergent.
$$\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_ky_k})}+\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^k\sqrt{x_ky_k})}$$
et
$$\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_ky_k})}-\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^k\sqrt{x_ky_k})}$$
Appelons
$$\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_ky_k})}+\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^k\sqrt{x_ky_k})}=S_1+S_2$$
et
$$\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_ky_k})}-\sum_{k=2}^{k={\infty}}{((-1)^k\sqrt{x_ky_k})}=S_1-S_2$$
alors
$$2\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_{2k}y_{2k})}}=S_1+S_2=2\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k={2m}}{((-1)^{k+1}x_k)})}$$
$$=2\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k={2m}}{((-1)^{k+1}y_k)})}$$
et
$$2\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_{2k+1}y_{2k+1})}}=S_1-S_2=2\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=2}^{k={2m+1}}{((-1)^{k+1}x_k)})}$$
$$=2\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=2}^{k={2m+1}}{((-1)^{k+1}y_k)})}$$
on connait \\$S_1=y_1$
\\on peut en déduire
$$S_1+S_2=y_1+S_2=S_1-S_2+2x_1-2X=y_1-S_2+2x_1-2X\Rightarrow{2S_2=2x_1-2X}$$
en retranchant
$$2\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=2}^{k={2m+1}}{((-1)^{k+1}x_k)})}-2\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k={2m}}{((-1)^{k+1}x_k)})}=2X-2x_1=S_1-S_2-S_1-S_2=-2S_2$$
$$=2\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=2}^{k={2m+1}}{((-1)^{k+1}y_k)})}-2\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{(\sum_{k=1}^{k={2m}}{((-1)^{k+1}y_k)})}=-2y_1$$
$$2\Rightarrow{\lim_{m\longrightarrow{\infty}}{((-1)^{2m+2}x_{2m+1}-x_1)}=2X-2x_1=-2y_1=-2S_2}$$
Voilà, je crois que vous comprenez mieux mes questions : y a-t-il un moyen de prouver que
$2X-2x_1=-2x_1=-2y_1=-2S_2$ ? C'est-à-dire $X=0$ ? Alors déjà
\\$S_1+S_2=y_1+x_1-X$
\\$S_1-S_2=y_1-x_1+X=0$
\\donc
\\$S_1=S_2=x_1-X=y_1$
\\c'est tout ce que l'analyse semble donner. Il y a aussi la
conséquence
$$S_1-S_2=0=2\sum_{k=2}^{k={\infty}}{(\sqrt{x_{2k+1}y_{2k+1})}}$$
avec $x_{2k+1}y_{2k+1}\geq{0}$, d'où $x_{2k+1}y_{2k+1}=0$, pour tout $k$, donc l'un
des premiers termes est nul $x_1y_1=0$. L'algèbre donne un résultat
plus général, à savoir $x_1y_1(x_1-y_1)=0$. En effet, si $x_1=y_1$, il n'y
a plus de problème.

Bonsoir, Gérard,
Tu as parfaitement raison en tout point. Ce que j'ai donné à lire ne permet pas de conclure à la convergence de la série en x. Heureusement, j'ai un développement algébrique certes assez fastidieux en calcul, mais qui permet de conclure (j'ai voulu résoudre le problème analytiquement et il semble que ce soit un peu difficile). Merci d'avoir permis à tout lecteur de ce fil de comprendre certaines fautes courramment commises. Par exemple, ici, on ne peut conclure avec les limites à cause des $(-1)^n$, mais, il existe une voie qui permet d'arriver à $x=y$, donc à la convergence des séries (oui, ces séries convergent). Je rappelle qu'une série converge si la limite de la somme est la même pour des indices pairs et impairs, ce qui n'est généralement pas le cas quand il y a un $(-1)^n$ comme ici. A + !