semi-groupes finis
Bonjour
Ici les semi-groupes sont additifs commutatifs et avec élément neutre noté 0.
La question que je me pose est de savoir s'il existe des semi-groupes finis qui ne sont pas des groupes.
Dans le cas infini on a bien sûr (N,+,0) qui n'est pas un groupe aussi si la réponse à la question précédente est positive j'ajoute alors la condition suivante (vérifiée par (N,+,0)) concernant les semi-groupes finis :
Si a+b=0 alors a=b=0
Merci de votre aide.
Euzenius
Ici les semi-groupes sont additifs commutatifs et avec élément neutre noté 0.
La question que je me pose est de savoir s'il existe des semi-groupes finis qui ne sont pas des groupes.
Dans le cas infini on a bien sûr (N,+,0) qui n'est pas un groupe aussi si la réponse à la question précédente est positive j'ajoute alors la condition suivante (vérifiée par (N,+,0)) concernant les semi-groupes finis :
Si a+b=0 alors a=b=0
Merci de votre aide.
Euzenius
Réponses
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C'est quoi ce que tu appelles un semi-groupe? un monoïde?
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je ne crois pas qu'il puisse exister de semi groupe fini ( a part celui réduit à 0).
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semi-groupe selon la terminologie française : magma associatif, avec élément neutre (bilatère), et régulier (ou monoïde régulier) ce qui permet de le prolonger en un groupe (selon la méthode usuelle que l'on applique aux naturels pour obtenir les entiers relatifs).
Un groupe fini est bien sûr un semi-groupe.
On peut se poser la question : existe-il des semi-groupes finis qui ne sont pas des groupes ? Je suppose que oui puisqu'il y a une théorie des semi-groupes finis (sens français ou sens plus large anglais ?) et que je suis actuellement sur une île déserte sans bibliothèque.
Je pose donc la question plus restrictive dans le cas commutatif (question du fil) ou faut-il rajouter une condition supplémentaire par exemple celle indiquée ?
Merci pour toute information ou démonstration.
Euzenius -
Bah y'a pas 36 solutions : notons $1$ le neutre et multiplicativement ta loi.
Soit le bonhomme est infini, soit la suite $(x^n)_n$ est périodique pour tout $x$ (si $x^k=x^l$ avec $k<l$, la régularité implique que $x^{l-k}=1$) et donc tout élément est inversible ($y$ a pour inverse $y^{T-1}$ avec $T$ la période de la suite $(y^n)_n$) : le bonhomme est un groupe. -
Effectivement,:D
Donc les french-semi-groupes qui ne soient pas des groupes sont infinis et par conséquent la condition supplémentaire assure qu'aucun élément hormis l'élément neutre n'a de symétrique.
Je vais donc pouvoir poursuivre mon étude des french-semi-anneaux (sans symétriques) unifères commutatifs et intègres, avec un peu plus de sérénité (Le but étant de développer des structures "principales" au même titre que les anneaux principaux et les englobant : ainsi si Z est principal, N ne l'est pas, mais bon je ne vais pas vous casser les pieds avec mes âneries).
Merci divin barbant raseur.
Euzenius -
J'ai sorti l'avatar des grands jours, car le message critique approche (M-31)
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Si on n'aime pas les suites, on peut aussi utiliser l'argument classique :
si f est une application injective de X dans X avec X ensemble fini alors f est bijective.
Il suffit alors d'appliquer ce résultat à l'application de multiplication par x :
y donne xy qui est injective par hypothèse et donc surjective et donc l'élément neutre est dans l'image c'est-à-dire que x a un inverse (à droite).
Remarque que l'argument du barbant raseur ou celui-ci marche aussi quand on n'a pas la commutativité...
Cependant, lorsque le semi-groupe n'est pas commutatif, il n'est pas nécessairement plongeable dans un groupe.
Vincent -
vincent a écrit:l'argument du barbant raseur ou celui-ci marche aussi quand on n'a pas la commutativité...
Pour moi, la régularité c'est : si xy=xz et yx=zx, alors y=z.
Et un semi-groupe est un monoïde régulier. A-t-on la même définition ?
Avec ma définition, je n'ai pas l'impression que, dans le cas non commutatif, on ait nécessairement injectivité de l'application de multiplication par x.
Dans ma preuve, cela ne pose pas de problème, parce que deux puissances quelconques d'un même lascar commutent nécessairement, mais (avec ma définition), je n'ai pas l'impression que ta preuve passe au cas non commutatif.
Je passe à côté de quelque chose d'évident ?
Ou tu utilises une définition plus stricte (avec un ou là où j'ai un et peut-être) ? -
Bonjour,
L'aspect regularité = injectiion = bijection dans le cas fini (commutatif ou non) est évidemment une autre voie (j'émerge tout doucement sorry). D'ailleurs le barbant raseur sous son avatar angélique poupon avait modifié sa première intervention en indiquant l>k ce qui impliquait la régularité à droite (ou à gauche faute de latéralisation).
Notons que la terminologie française se prend un peu les pieds dans le tapis avec les semi groupes qui sont des monoïdes réguliers et semi-anneaux où la sructure additive n'est qu'un monoïde pas forcément régulier alors qu'avec le préfixe demi sémantiquement distinct de semi u moins en mathématiques on avait pris une longueur d'avance sur les rosbifs...
Bonne fin de dimanche !
euzenius -
euzenius a écrit:D'ailleurs le barbant raseur sous son avatar angélique poupon avait modifié sa première intervention en indiquant l>k ce qui impliquait la régularité à droite (ou à gauche faute de latéralisation).
Je ne vois pas ce que tu veux dire. J'ai rajouté l>k pour plus de clarté, ma remarque s'entend comme ça :lbr a écrit:si x^l=x^k avec k et l distincts, alors l'un des deux est nécessairement plus grand que l'autre : appelons l le plus grand des deux
Après, je ne sais pas si ma définition de régularité est standard, peut-être que je me fourvoie et que dans la littérature on trouve un ou là où je mets un et (c'est à dire qu'on définit la régularité comme la conjonction de la régularité à gauche et de la régularité à droite, ce qui conduit à une définition moins laxiste de semi-groupe), c'est à dire que je considère être des semi-groupes des monoïdes qui, dans la littérature, n'en sont pas.
Bref : tu ferais mieux de nous donner ta définition au lieu de refaire le match France-Angleterre! -
Bon allez j'avoue tout.
J'y ai réfléchi, et c'est vrai que ça paraît beaucoup plus raisonnable d'appeler régulier un monoide qui est à la fois régulier à gauche et régulier à droite. Même si aucun de vous deux ne l'a dit clairement, je pense que c'est votre définition (et que ça doit être la "vraie" définition) de la régularité. Confirmez-le-moi quand même.
Maintenant je passe à table : en réalité (ne connaissant rien à la question) je suis allé chercher ma définition (un peu loufoque à la réflexion) sur wikipedia. Si vous me confirmez son caractère fantaisiste, j'irai modifier moi-même la page pour expier. -
Bonsoir le barbant raseur,
tu as tout à fait raison régularité = reg. à droite et reg à gauche.
Mais dans le cas qui me préoccupait d'un demi-groupe fini avec un élément neutre (bilatère cad à droite et à gauche et donc le même) c'est à dire un monoïde on peut dire "ou" et dans ta démonstration tu as démontré que x^(l-k)= e en utilisant l'une des deux et on ne va pas en faire un caprice des dieux. Tu avais écrit :x^k.x^(l-k) = x^k.e implique x^(l-k)=e.C'est du moins ce que j'ai voulu voir dans ta rectification sans vouloir te déplaire, histoire de faire bref et non de chercher la petite bête. J'ai interprété la précision k < l comme étant le choix de la régularité à droite et si tu avais indiqué k > l j'aurais pensé à l'autre, pardon si je me suis mal fait comprendre.
Donc, in fine, un monoïde fini régulier à droite ou à gauche est un groupe et par voie de conséquence un (french) semi groupe (régulier à gauche et à droite) fini est un groupe. Merci à vous d'avoir mis les "¨" sur les i.
Euzenius -
Re...
un ectoplasme a fait disparaitre une partie du message précédent il faut donc lire :
... j'ai interprété la précision k<l comme étant le choix de l'une des deux régularités et si tu avais fait le choix k>l j'aurais pensé à l'autre...
Sorry
Euzenius
[L'ectoplasme est tout simplement < et > qui s'ils ne sont encadrés par des espaces sont interprétés comme des démarrage de bannière html, et donc le contenu entre disparait. AD] -
J'ai vraiment le sentiment de me faire très mal comprendre.
Ce que j'essaie d'expliquer c'est que si on note
E1 = (A et implique C
E2 = (A implique C) ou (B implique C)
E3 = (A ou implique C
E3' = (A implique C) et (B implique C)
Alors E3' <=> E3 => E2 => E1
et les implications qui ne sont pas des équivalences sont strictes.
Si maintenant j'ai un monoïde M et je dis
a) que M est euzénius-régulier si
(∀ x,y,z ∈ M, xy=xz => y=z) et (∀ x,y,z ∈ M, yx=zx => y=z)
b) que M est faiblement-régulier si
(∀ x,y,z ∈ M, xy=xz => y=z) ou (∀ x,y,z ∈ M, yx=zx => y=z)
c) que M est wikipedia-regulier si
∀ x,y,z ∈ M, (xy=xz et yx=zx) => y=z
Alors un monoïde euzénius-régulier est un cas particulier de monoïde faiblement-régulier, et un monoïde faiblement-regulier est lui-même un cas particulier de monoïde wikipedia-régulier.
La preuve de vincent marche pour les monoïdes faiblement-réguliers (c'est à dire pour les monoïdes réguliers à droite et aussi pour les monoïdes réguliers à gauche) et ma preuve marche plus généralement pour les monoïdes wikipedia-réguliers.
Donc les deux preuves marchent sur les monoïdes euzénius-réguliers (c'est à dire les "vrais" semi-groupes), c'est ce qui t'intéresse et j'ai bien compris que tu ne veux pas épiloguer. Mais ce que je veux dire, c'est que les deux marchent pour des structures plus laxistes, et en particulier la mienne pour la structure proposée par wikipedia comme définition de semi-groupe, qui est de très loin la plus laxiste (et on est bien d'accord pour dire que c'est une "mauvaise" définition de semi-groupe).
Je t'assure que je ne cherche pas la petite bête aux dieux capricieux. J'ai bien compris que je t'irritais à faire mon lourd et je te prie de bien vouloir m'en excuser, mais je veux vraiment être sûr que mon propos est clair.
Pour repartir dans une direction qui intéressera tout le monde, est-ce que vincent (ou un autre intervenant) pourrait nous donner un exemple de semi-groupe non commutatif, qui n'est pas plongeable dans un groupe ?
J'y arrive (je crois) pour un wikipedia-semi-groupe, mais pas pour un "vrai" semi-groupe. -
Pour le barbant raseur :
je confirme ce que tu proposais dans ton message de 16h38.
régulier = régulier à droite et régulier à gauche.
C'est je pense la définition la plus raisonnable (en tout cas c'est celle de Bourbaki Algèbre chapitre 1 paragraphe 2.2 définition 5) !
Vincent
PS : pour le cas du semi-groupe non plongeable, je sais que j'ai ca quelque part dans des notes de cours. La question est dans quelle note de cours ? Et ca c'est plus délicat... et ca risque de prendre du temps -
Merci pour cette seconde confirmation.
J'ai corrigé sur wikipedia. -
Finalement, j'ai pas eu trop de mal à retrouver mes notes.
On considère le monoïde libre sur 7 générateurs a,b,c ,d,r,s,t qu'on quotiente par les relations ar=ts, at=bu et cr=ds. Le monoïde quotient est régulier.
Dans le groupe des fractions du monoïde, on a ct=du alors que cette relation n'est pas vraie dans le monoïde. Ainsi, le morphisme canonique du monoïde dans son groupe de fraction n'est pas injectif. Donc le monoïde ne s'injecte dans aucun groupe !
Vincent
PS : je me suis jamais penché de près sur les calculs: j'ai fait confiance à mon prof. -
Nuitamment,
Non, le barbant raseur tu ne m'irrites point, j'avais simplement introduit la question parce qu'elle m'avait effleuré l'esprit sans plus, étant simplement plongé dans des réflexions sur des extensions annélides type les entiers naturels (qui n'est pas un anneau comme chacun sait) en remplaçant le groupe additif par un semi-groupe. Comme les entiers naturels ouvrent aussi la voie vers les structures finies là des anneaux je me suis posé la question donc des semi-groupes finis et ma fainéantise m'a amené à répercuter cela sur ce forum. Volà pour la génèse du fil.
Le but que je poursuis est de m'intéresser aux annélides commutatifs où le groupe additif est remplacé par un semi-groupe avec les conditions
a+b=0 ssi a=b=0 (asymétrie)
ab=0 ssi a ou b = 0 (intégrité)
ce qui est le cas des parties positives de nos anneaux de nombres dans R.
Sur ces structures qui se plongent dans des anneaux, je définis la notion d'idéal comme pour les anneaux et une principalité (qui doivent donner les mêmes notions si la structure est un anneau). Si Z est principal N ne l'est pas. Par contre si l'on prend dans Q les rationnels de la forme (2^n)i où n est un entier relatif et i un naturel impair (anneau local), on doit obtenir une structure principale (à démontrer de manière directe comme on le fait pour Z) et je pense que le théorème de Bachet-Bezout y prospère aussi donnant un résultat que j'avais déjà exprimé voici un certain temps sur ce forum :
Pour tout couple (n,m) de naturels impairs premiers entre eux, il existe un couple (u,v) de naturels impairs et un naturel k>0 vérifiant un+vm=2^k (et ibidem avec le pgcd(n,m)=d : un+vm=d2^k).
Le but n'est pas ce seul résultat mais l'arithmétique via cette structure, cependant j'ignore si cela a un véritable intérêt.
J'ai donc une propension à me cantonner aux seules structures algébriques liées à mes modestes recherches.
A Alain, merci pour avoir identifié l'ectoplasme HTML.
Bonne nuit !
Euzenius -
salut.j`ai besoin la definition et but semi-groupes
c`est quoi semi groupes en probabilite
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Bonjour!
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