Une division

Bonjour Sylvain

Comme tu as posté sous la rubrique Arithmétique, on supposera que $q \in \N^*$
Alors tu considères le polynômes $X^a-1$ (resp $X^b-1$), qui dans une fermeture algébrique ($\C$ par exemple) a pour racines $U_a$ (resp $U_b$) l'ensemble des racines $a$-èmes (resp $b$-èmes) de l'unité.
Dire que $(X^a-1) \mid (X^b-1)$, c'est dire que toutes les racines de $X^a-1$ sont aussi racines de $X^b-1$, ou encore que parmi les racines $b$-èmes de 1, il y a les racines $a$-èmes de 1.
Or l'ensemble $U_b=\{\exp(k \frac{2i\pi}b),\ 0\leq k < b\}$ est un groupe cyclique d'ordre $b$ et donc $U_a$, l'ensemble des racines $a$-èmes, est un sous-groupe de $U_b$. Alors (par exemple théorème de Lagrange) tu obtiens que $a\mid b$
Cette conclusion étant indépendante de l'extension dans laquelle tu as obtenue les racines, elle persiste dans ton ensemble d'origine c'est à dire $\N^*$.

Alain

Bonjour cher homonyme,

on peut sans doute faire un lien avec les sommes de progressions géométriques.

Autre méthode (déjà indiquée sur le forum aussi, mais y'a pas de raison que je ne vende pas ma soupe aussi) :

Si q^b est congru à 1 modulo q^a-1, b est un multiple de l'ordre de q dans Z/(q^a-1), mais ce dernier est clairement a !


Il faut quand même remarquer (même si ça va de soi, mais comme personne ne l'a fait, je me permets de le faire), que si q<2, le résultat est faux (et toutes les preuves bugguent quelque part : pour la mienne, l'ordre de q dans Z/(q^a-1) n'est nécessairement a que si q>=2).