Déterminant d'une matrice trigonale par blocs

skywitit
skywitit
dans Algèbre
Bonjour,

Je souhaite montrer que le déterminant d'une matrice trigonale par blocs est égal au produit des déterminants des blocs diagonaux. Pour cela, j'aimerais commencer à montrer ce résultat dans le cas d'une matrice diagonale par blocs mais je ne vois pas comment faire.

Merci

Réponses

  • gb
    gb
    Bonjour,
    Si la matrice est 2x2 par blocs, $\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}$, avec des blocs diagonaux pxp et qxq,
    – si $A$ n'est pas inversible, le résultat est immédiat ;
    – si $A$ est inversible, tu utilises $\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & I_q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_p & A^{-1}B \\ 0 & C \end{pmatrix}$.

    Puis tu raisonnes par récurrence sur le nombre de blocs.
  • Ayoub
    Ayoub
    Salut :)

    Ou même sans stûce d'ailleurs pour le cas n=2. On écrit la définition du déterminant (le vilain truc à n! termes) et puis tu la regardes en voyant que plein de termes se simplifient: précisemment ceux dont tu souhaites t'en débarasser.

    :)
  • skywitit
    skywitit
    Mais gb, pour conclure il faut déjà connaitre le résultat pour une matrice diagonale par blocs non ? Ensuite, il suffit d'écrire : $$\begin{pmatrix}
    A & B \\ 0 & C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & I_q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_p & A^{-1} B \\ 0 & I_q \end{pmatrix}.$$
  • gb
    gb
    On développe le déterminant de $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & I_q \end{pmatrix}$ par rapport à la dernière colonne et on est ramené à $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & I_{q-1} \end{pmatrix}$ ; idem en développant le déterminant de $\begin{pmatrix} I_p & A^{-1}B \\ 0 & C \end{pmatrix}$par rapport à la première colonne...
  • skywitit
    skywitit
    Oui, mais justement, j'aimerais faire la démonstration sans utiliser les développements par rapport à des lignes ou des colonnes... 8-)
  • junior1
    junior1
    j'aimerais connaitre la definition de matrice trigonale
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Aucune idée, un moteur de recherche bien connu renvoie vers matrice tridiagonale.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • gerard0
    gerard0
    On trouve dans le cours de Serge Mehl l'équivalent "trigonale" pour tridiagonale. en forçant un peu le moteur de recherche à regarder trigonale.

    Cordialement.
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