Groupe linéaire et groupe symétrique

kifton
kifton
dans Algèbre
Bonjour à tous,

Une question me taraude l'esprit...

Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension $n$. Il me semble que nous avons bien:

$(O(E),.) \leqslant (GL(E),.) \leqslant (Aut(E),.) \leqslant (\frak S_n,.)$ non ?

Mais, $\varphi : (\frak S_n,.) \rightarrow (GL_n (\mathbb K))$ qui à une permutation $\sigma$ associe la matrice de permutation associée est un morphisme de groupe qui nous dit, après application du premier théorème d'isomorphisme, que $(\frak S_n,.)$ est isomorphe à un sous-groupe de $(GL_n (\mathbb K))$.

N'y a-t-il pas là une contradiction ?
Merci d'avance pour vos éclaircissements.

Réponses

  • AD
    AD
    Bonjour Kifton

    Dans $(Aut(E),.) \leqslant (\frak S_n,.)$, le $n$ est $\mathrm{Card}(E)$ et pas $n=\dim E$.
    Un automorphisme quelconque de $E$ n'a aucune raison de transformer un élément de la base canonique de $E$ en un autre élément de cette même base (permutation de $n$ éléments).

    Alain
  • jobherzt
    jobherzt
    Je ne vois pas trop comment tu tires ton premier resultat ! Si je comprends bien, tu semble vouloir dire que GL(E) est un sous groupe de Sn, alors que le premier est infini et le second fini !

    J'ai l'impression que tu raisonne comme si GL(E) ne contenait que des permutations des éléments de la base, alors qu'il contient infiniment plus ! Sn est effectivement le groupe des bijections d'une base donnée prise en tant qu'ensemble, et comme tu agis sur une base tu peux etendre lineairement cette action a E tout entier, donc ca induit bien des elements de GL(E). Mais E contient une infinité d'element (si K est infini, evidemment), donc il n'y aucune raison d'avoir Aut(E)<Sn !

    Au passage, GL(E)=Aut(E), par definition.
  • kifton
    kifton
    mmh merci mais je pense m'être mal exprimé.

    Je détaille:

    Soit $E$ un ensemble. On note $\frak S (E)$ l'ensemble des bijections de $E$ dans $E$.
    $(\frak S (E),\circ)$ est un groupe.

    Maintenant, si $E$ est muni d'une structure de $\mathbb K$-espace vectoriel, alors $(E,+)$ est un groupe par définition. L'ensemble des bijections de $E$ dans $E$ qui respectent la structure de ce groupe est appelé le groupe des automorphismes de $(E,+)$ et noté $(Aut((E,+),\circ)$.
    L'ensemble des bijections de $E$ dans $E$ qui respectent cette structure d'espace vectoriel est un groupe appelé le groupe linéaire et noté $(GL(E),\circ)$ où je me trompe ? (qui correspond en fait à $(Aut(E,+,.),\circ)$)

    On a donc bien $(O(E),\circ) \leqslant (GL(E),\circ) \leqslant (Aut(E,+),\circ) \leqslant (\frak S (E),\circ)$

    Là où j'ai donc trébuché, c'est au niveau des cardinaux de tous ces ensembles comme me l'a montré Jobhertz très justement ! Ce que j'avais écrit n''était pas possible.

    Si on y revient et que l'on suppose $(E,+,.)$ de dimension $n$ sur $\mathbb K$, alors $\frak S (E)$ est infini et non de cardinal $n!$ comme je l'avais écrit précédemment. J'ai donc écrit ça trop rapidement et confondu dimension et cardinal !

    Par conséquent, il n'y a plus de contradiction avec le fait que $\frak S_n$ soit isomorphe à un sous-groupe de $GL_n (\mathbb K)$.

    Aurais-je mieux saisi l'affaire là ?

    Merci.
  • jobherzt
    jobherzt
    Au passage : un morphisme d'un groupe dans un GL(E) s'appelle une representation du groupe. Si ce morphisme est injectif, on appelle ca une representation fidele : le groupe est alors dit lineaire. Le fait que Sn soit lineaire implique en particulier que tous les groupes finis sont lineaires. Pour les groupes infinis c'est en general difficile de savoir s'ils sont lineaire ou non. Par exemple, les groupes de tresses, qui sont des generalisations du groupe symetrique, sont lineaire, mais c'est un resultat tres technique !

    Les groupes ont en general beaucoup de representations, donc il existe en fait un paquet de morphisme de Sn dans des Gl(E), dont la plupart ne sont pas injectif.
  • jobherzt
    jobherzt
    Effectivement c'est plus coherent. J'avoue ne pas avoir d'exemple qui me vienne d'automorphisme en tant que groupe qui ne soit pas des automorphismes en tant qu'ev...
  • kifton
    kifton
    Oui, je me demandais si l'on pouvait en trouver en fait ...

    Encore merci pour ton information sur les représentations. J'avais déjà entendu ce terme mais je ne savais pas du tout ce dont il s'agissait.
  • le barbant raseur
    le barbant raseur
    \begin{quote}
    {\bf Jobherzt :} {\it J'avoue ne pas avoir d'exemple qui me vienne d'automorphisme en tant que groupe qui ne soit pas des automorphismes en tant qu'ev...}
    \end{quote}


    Je crains de ne pas avoir compris la question.


    Toute application $\Q$-linéaire de $\R$ dans $\R$ est un morphisme du groupe $(\R,+)$ (et aussi un morphisme de $\Q$-espace vectoriel) mais pas un morphisme de $\R$-espace vectoriel.


    Plus simple (?) : la conjugaison, de $\C$ dans $\C$, est un morphisme du groupe $(\C,+)$ (et aussi un morphisme de $\R$-espace vectoriel, et aussi un morphisme de corps) mais pas un morphisme de $\C$-espace vectoriel.
  • jobherzt
    jobherzt
    Sauf erreur (on est dimanche, hein :) ) ca revient, si K est de caracteristique nulle, à trouver une application Z-lineaire qui ne soit pas K-lineaire...

    Pour la theorie des representations, c'est effectivement un domaine vaste et interressant (oui, je preche pour ma chapelle :) ), qui dans une certaine mesure donne son sens à l'idée que les groupes encodent des informations de symétrie. "l'utilité" d'un groupe vient tres souvent de la maniere dont il agit sur quelque chose (c'est a ce titre qu'on les utilise en physique theorique, par exemple.)
  • jobherzt
    jobherzt
    Exact, le barbant raseur, merci !
  • kifton
    kifton
    D'accord Jobherzt ! Peut-être qu'un jour j'étudierai cela :) Pour l'instant je ne suis pas encore armé.

    Effectivement, la conjugaison est $\R$-linéaire mais pas $\C$-linéaire. C'est donc un morphisme de groupes additifs mais pas d'espaces vectoriels. Merci le barbant raseur, je l'avais oublié ce morphisme.
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