démonstration du volume d'un cône tronqué
Réponses
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bonsoir, c'est surement de la géométrie; je te propose ceci qui indique comment faire:
Le volume d'un tronc est le produit de sa hauteur par la moyenne arithmétique des aires de ses bases et de leur moyenne géométrique. Le volume V du tronc s’exprime par la formule générale :
$$ V=\frac{h}{3} \times (B_1 + \sqrt{B_1 \times B_2} + B_2)$$
où h est la hauteur du tronc entre les deux plans parallèles, et B1 et B2 sont les aires des bases du tronc (contenues dans les plans parallèles de coupe du solide. Par exemple, pour calculer le volume d'un tronc de cône orthogonal :
$$ V = \frac{\pi h}{3} \times (r_1^2 + r_1 \times r_2 + r_2^2)$$
où h est la distance séparant les plans, et r1 et r2 sont les rayons des deux bases circulaires.
Un autre moyen équivalent, facile à mémoriser, et plus intuitif, est de calculer le volume du cône ou de la pyramide avant d’en couper le sommet, et de retrancher le volume du cône ou de la pyramide coupé au sommet. Il faut alors déterminer la hauteur h0 du premier cône non tronqué, et retenir les formules de calcul du volume d'un cône ou d'une pyramide, qui sont des cas dégénérés de cette précédente formule :
sinon il y a de beaux dessins sur ce site:
\lien{http://anisciences.free.fr/demos/mat/MQ_demo/FMA/volume/volumes.htm}A demon wind propelled me east of the sun -
rebonsoir choupi03, voici la partie importante du message précédent:
"Un autre moyen équivalent, facile à mémoriser, et plus intuitif, est de calculer le volume du cône ou de la pyramide avant d’en couper le sommet, et de retrancher le volume du cône ou de la pyramide coupé au sommet. Il faut alors déterminer la hauteur h0 du premier cône non tronqué, et retenir les formules de calcul du volume d'un cône".
Le volume du cône du haut est $V_h= \frac{1}{3}\pi h_0 r^2$ si $r$ est le rayon de base du cône la plus petite et donc la plus proche du sommet; l'indication entre guillemets te dis que ton volume vaut:
$$V= \frac{1}{3}\pi \left(h + h_0\right) R^2 - v_h$$
et ton problème est de calculer $h_0$ à savoir la hauteur de la partie du cône qui a été coupée...Pour cela le théorème de Thalès peut t'aider.A demon wind propelled me east of the sun -
Bonjour,
j'ai éssayé de résoudre cette énoncée mais sans succés. Au secours:
Un cône de révolution a pour sommet S.
Son disque de base de centre O a pour diamètre (AB)
avec AB=20cm. De plus ASO = 40°
Calculer la hauteur SO (indiquation : penser aux angles complémentaires et calculer SA)
Calculer son volume
J'ai tout essayé, j'y suis rester 5 heures , mais c'est le bloquage
Qui peut m'aider ? -
bonjour Jeremy
la longueur SA n'est pas nécessaire; par contre la hauteur h=SO oui
tu utilises la relation trigo dans le triangle rectangle AOS
tan(ASO)=tan(40°)=10/h d'où h=10/tan(40°)
le volume du cône est (1/3)pi.r².h (avec r le rayon du disque de base)
volume du cône = (1/3)pi(10²).h =1000.pi/(3tan(40°))=1248,00 cm^3
= 1,248 litre
cordialement -
Bonjour amis du forum,
Voici la solution
- Soit un grand cube de volume V et de longueur A tel que V = A^3
- Soit un petit cube de volume v et de longueur a tel que v = a^3
- Le petit cube est inscrit au centre du grand cube càd qu'ils ont le même centre de symétrie tel que les cotés du petit cube sont parallèles avec le grand cube donc V= A^3, v= a^3, le volume des 6 troncs pyramide est :
V-v=A^3 - a^3 = (A-a )( A^2+ A.a + a^2) soit 2 h= A-a ( h étant la hauteur du tronc de pyramide) le volume d'un tronc de pyramide est
(V -v )/6= 2h/6( A^2 + A.a + a^2) = h/3(A^2 + A.a + a^2)
Cas particulier : ( a=0 ) le volume de la pyramide est V = h/3.A^2
Merci
Sebaa Djelloul -
je vous s'avoir le volume de cone
-
Sourire, Bonjour, Au revoir, Merci.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
HELP : A l'aide d'un robinet dont le débit, constant, est égal à 12litres par min, on remplit d'eau un seau qui a la forme d'un cône tronqué. Le diamètre inférieur du seau est égal à 16cm , son diamètre supérieur est égal à 40cm et sa hauteur est égale à 36cm.
On ouvre le robinet à un instant t=0 et, pour tout instant t, éxprimé en seconde, on désigne par V(t) la mesure, en cm3, du volume d'eau dans la seau à l'instant t et par h(t) la mesure, en cm, de la hauteur d'eau dans le seau à l'instant t.
L'objectif de cet exo est d'étudier la fonction h.
on admet que la fonction h est dérivable.
1/ démontrer que V(t)=200t
2/ démontrer que V(t)= pi/27(h(t)+24)3-512pi
Je voudrais juste un coup de main pr ces 2 premières questions parce que je n'arrive pas à décoller !!
Merci -
Bonjour Alice.
La première question est du niveau certificat d'études (conversion d'unités, lien vitesse/quantité) : 12 litres par minute, ça fait combien de cm cubes par seconde ? je te laisse finir.
Pour la deuxième, relis les messages précédents pour avoir la formule du cône tronqué (quand la surface de l'eau est bien plate (ton énoncé suppose sans le dire que faire couler de l'eau dans un seau ne dérange pas la surface !!), l'eau occuppe un cône tronqué (la pointe en bas) : fais un dessin.
Cordialement -
Bonjour Alice,
si tu as du mal avec la première question : fait un tableau de valeurs : sur une ligne 10 valeurs du temps, sur l'autre 10 valeurs de volume correspondantes, puis fait un graphique (SANS utiliser aucunement ta calculatrice) grâce à ton tableau sur un papier milimétré ou sur une feuille petits carreaux. Tu vas constater quelque chose d'assez interessant et qui devrait t'aider à comprendre ce qui se passe.
Emmanuel
PS : pour les profs qui lisent ce post : comment se fait-il qu'une élève qui doit être en première ou term. (on parle de fonction dérivable dans le texte) ne soit pas capable de répondre à une question aussi simple que la première question??? Qui est responsable??? La fonte des programmes? Ceux qui étaient aux premières loges et qui ont laissé faire une politique démagogique??... hummm??? -
Bonjour Yersinia Pestis.
Alice te parle d'un seau tronconique et tout de suite tu répliques avec un puits sans fond !
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Le cône tronqué est obtenu à partir d'un cône de hauteur $H$ donc de volume $V_1=\frac{1}{3}\,\pi\,R^2\,H$, en lui enlevant un petit cône de hauteur $H-h$ donc de volume $V_2=\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,(H-h)$.
Le volume cherché est donc
$V=V_1-V_2=\frac{1}{3}\,\pi\,R^2\,H - \frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,(H-h)$
$V=\frac{\pi}{3}\,H\,(R^2-r^2) + \frac{\pi}{3}\,h\,r^2$
Or d'après Thalès on a $\frac{H-h}{r}=\frac{H}{R}$ d'où $H=\frac{hR}{R-r}$. Par suite
$V = \frac{\pi}{3}\,\frac{hR}{R-r}\,(R^2-r^2) + \frac{\pi}{3}\,h\,r^2$
$V = \frac{\pi}{3}\,h\,R\,(R+r) + \frac{\pi}{3}\,h\,r^2$
$V = \frac{\pi}{3}\,h\,(R\,(R+r)+r^2)$
$V = \frac{\pi}{3}\,h\,(R^2+r\,R+r^2)$ -
Bonjour e.v.
excellent!!!
J'ai regardé vite fait tes interventions : superbe niveau en maths et AUSSI en humour!!! C'est possible de t'envoyer du linge à repasser??
Pourquoi as-tu choisi un baudet du Poitou en avatar?
Emmanuel -
Bonjour Emmanuel.
Je te remercie pour le linge, j'ai ce qu'il me faut.
Mon avatar du moment ? Parce que J'adôôôre les ânes en général et les baudets du Poitou en particulier. Il ne faut pas chercher plus loin. Et puis ça me permet de faire hi! han! quand j'ai posté une, euh, ânerie.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Selon un de mes professeurs de fac, l'Âne du Poitou, c'est un certain ancien premier ministre, spécialiste en petites phrases foireuses.
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Merci "Archimède" tu m'as beaucoup aidé ... Pour le petit malin qui trouve honteux que je ne réponde pas à la premier question, je le "rassure" j'ai "réussi" à répondre seul à cette question, j'ai juste noté les 2 premières questions de l'énoncé pensant que la question 1, pouvait être utile pour la 2 !
Mais merci quand même ^^ -
Donnée:
V(t)=200t
V'(t)= pi/9(h(t)+24)²h'(t)
Démontrer que la fonction h est la solution de l'équation différentielle :y'=1800/pi(y+24)²Merci d'avance
[Anna alias alice, pourquoi ne pas continuer sur ta discussion en cours pour ton problème ? AD] -
Bonjour anna,
fait attention à bien écrire toutes les parenthèses nécessaires ! En oublier peut couter cher...
Tes équations sont ambigues car elles peuvent être comprises de plusieurs manières différentes, par manque de parenthèses.
Pour la démonstration :
Premièrement tu dérive V(t)=200t et tu trouve V'=200 que tu mets dans l'équation.
Deuxièmement : dans l'équation, tu remplace y par h(t) et y' par h'(t) et tu verras que l'on obtient bien l'égalité des termes de gauche et de droite. Donc h(t) est solution de l'équation. -
Elle me gave Alice/Anna :
cit msg du 17/09 :
"1/ démontrer que V(t)=200t
2/ démontrer que V(t)= pi/27(h(t)+24)3-512pi
Je voudrais juste un coup de main pr ces 2 premières questions parce que je n'arrive pas à décoller !!
Merci"
cit msg du 18/09
"Pour le petit malin qui trouve honteux que je ne réponde pas à la premier question, je le "rassure" j'ai "réussi" à répondre seul à cette question, j'ai juste noté les 2 premières questions de l'énoncé pensant que la question 1, pouvait être utile pour la 2 !"
"Coup de main pour ces 2 premières questions"... j'ai pas rêvé, non??
Et merci pour "le petit malin"... et pardessus le marché je n'ai jamais trouvé cela "honteux"!! Pénible ça : mensonge et déformation des propos d'autrui...:X
Ben je souhaite que personne ne prenne de temps pour aider ce type d'epsilon de seconde zone!!!X:-(
Emmanuel -
bonjour, je suis en première S et j'ai un soucis avec un exercice sur le cube tronqué et c'est un devoir à rendre donc j'espère que quelqu'un pourra m'aider. Voilà l'exercice:
on tronque un cube d'arête 4cm en lui ôtant ses huit coins. Chaque coin représente une pyramide régulière dont la base est un triangle équilatéral et dont les arêtes latérales mesurent x:
1) A quel intervalle I x doit-il appartenir si l'on veut que ces coins existent et que les faces du solide tronqué obtenu soient des triangles équilatéraux et des octogones?
2) Exprimer le volume V(x) du solide tronqué en fonction de x et justifier que la fonction V est décroissante sur I.
Merci d'avance de votre aide car je n'y arrive pas du tout. -
Bonjour Maéva.
Tu peux commencer par faire une figure, et aussi réquisitionner la pâte à modeler de ton petit frère pour faire un cube et en couper les coins (bien comme il faut pour que la coupe soit faite suivant un triangle équilatéral). Dans les deux cas, tu verras qu'il ne faut pas en couper trop. Ce qui répondra à ta première question.
Pour la deux, tu peux prendre le volume du cube moins celui des coins.
A toi de bosser... -
svp je cherche la démonstration de la formule volume d'un tronc cone de pyramide
h/3(B+A+ racine carre de B*A)
A GRANDE BASE
B PETITE BASE -
Bonsoir,
Je crois que tu devrais trouver la "formule de la base moyenne" dans le document aires et volumes proposé par l'Iufm :
http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/exposes/volumes/volumes.htm -
Votre message est bizarre car la preuve se trouve sur la page 1 de cette discussion datant de 2 ans...
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bjr, le rayon du disque de base d'un cone de révolution est de5 cm et le volume de ce cone est 50pi cm3. Je doit calculer la valeur exacte de l'aire et sa hauteur . Je n'y arrive pas merci de m'aider.
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Bonjour, j'ai un DM de Mathématique et je n'y comprend strictement rien quelqu'un peut - t - il m'aider svp ?
C'EST UN CÔNE TRONQUES HAUTEUR = 6CM, RAYON DU CERCLE DU HAUT = 12 CM , RAYON DU CERCLE DU BAS 3 CM.
Un seau à champagne du " nouvel an " est représenter sur la figure ci-contre :
C'est un cône C coupé par un plan parallèle a son disque de base.
La section du cône par se plan est un cercle de centre O et de rayon 3cm.
On a : OO' = 6cm.
Déterminer le volume en cl, arrondie à l'unité, de glace pour remplir ce seau.
Aide: On peut calculer le volume TOTAL du cône puis enlever la pointe par exemple. -
Bonjour,ce serait super si vous pouviez m'aider là-dessus.Comment prouve-t-on géométriquement (et pas en passant par les intégrales) que le volume d'un cône de révolution est le tiers de celui d'un cylindre de même hauteur? Merci beaucoup .
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Bonjour mike,
Tu peux aller voir du côté du théorème de Guldin (Volumes)
Tu t'interdis le recours au calcul intégral, mais que t'autorises-tu ?
Volume d'une pyramide à base carrée ? Déformations de cette pyramide,
Volume de la pyramide à base triangulaire (tétraèdre, volume dune pyramide régulière à base polygonale, passage à la limite quand le nombre de côtés tend vers $+\infty$ ?
On peut imaginer une progression pour en arriver au volume du cône de révolution.
Amicalement. jacquot
[Correction du lien. Merci à Depasse de l'avoir signalé. Ah \% et LaTeX ! AD] -
Merci à toi, j'y suis allé et il faut que je creuse. En fait la base de mon problème est celui-ci: si j'ai ce fameux cône avec le cylindre de même hauteur et de même rayon de base à côté,est-il possible intuitivement de voir qu'on peut en placer 3,évidemment coupés comme on en a besoin? Apparemment,physiquement c'est vachement simple:avec cette grosse cannette,je me verse 3 flûtes de bière mais géométriquement? Salut. Mike
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Mike,
Pour l'assemblage de trois cônes en un cylindre, Il faudrait découper chacun en une infinité de pièces avant de réagencer le puzzle... Voir exemple de discussion sur la détermination du volume d'un solide par découpage -réagencement . Pour cônes-cylindre, c'est encore infiniment plus compliqué.
Mais la progression que je te proposais plus haut saurait être plus convaincante:
1) En joignant les 4 coins d'une face d'un cube au centre de ce cube, tu obtiens une pyramide à base carrée. Sans aucune formule, tu peux en déduire la valeur de son volume.
2) Si tu doubles, triples, ou multiplies par k la hauteur de ta pyramide, comment variera son volume? (ça se discute): effet d'une affinité sur le volume.
3) Coupe ta pyramide par un plan passant par son sommet et deux coins opposés de la base, tu obtiens deux tétraèdres.
4) Déplace un sommet du tétraèdre dans un plan parallèle à la base....
5) Une pyramide régulière de base polygonale est un assemblage de tétraèdres.
6) Pour le cône, faut passer à la limite.
Amicalement. jacquot -
Merci à toi Jacquot.Par contre dans le 1) j'ai pas compris pourquoi tu dis que j'en déduis le volume de ce tétraèdre,l'aire latérale je comprends puisque c'est l'aire du carré de base avant pliage,mais je bloque au niveau du volume sans les formules .
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Bonjour mike,
Le volume du cube unitaire est 1x1x1 par définition de la notion de volume
La pyramide décrite en 1) a son sommet au centre du cube. Si tu assembles 6 de ces pyramides, tu remplis exactement le cube. Donc son volume est ... -
Bonsoir,
pour démontrer la jolie formule, je propose l'utilisation de la formule des trois niveaux .
Simple et efficace .
bien cordialement
kolotoko -
Salut Jacquot,j'ai beaucoup de mal dans l'espace,si t'as un site à me conseiller ou un bouquin pour "mieux y voir" je suis preneur.(je note rc() pour racine carrée)A part ça,j'ai essayé de faire une construction de papier et une telle pyramide à un côté de sa base carrée valant rc(2)/2,n'est-ce pas?Si c'est ça,alors je n'arrive pas à comprendre comment tu places 6 pyramides pour reconstituer ton cube unitaire et en déduire,là ok,que v(pyr)=1/6.
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Salut Kolotoko,ma question initiale est la recherche d'une preuve géométrique,mais ça m'intéresse ta démo des 3 niveaux donc te gêne pas pour l'envoyer.Merci à toi d'avance.
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Bonjour mike,
6 pyramidesrégulières qui remplissent un cube:
On peut aussi partir de 3 pyramides obliques qui remplissent un cube:
Tu construis trois exemplaires de celle-ci:
et tu montres qu'elles permettent de remplir un cube.
Voici un lien qui pourrra t'intéresser:
http://xavier.hubaut.info/coursmath/var/sphere.htm
Amicalement. jacquot -
Alors là super,le premier croquis,je l'ai bien compris.Le deuxième j'essaierai de le voir après.Faudrait si tu peux que tu me dises comment t'as fais pour insèrer ces croquis.Maintenant j'ai pigé ce que tu voulais dire au départ,j'avais compris qu'il fallait replier les 4 coins d'une des faces du carré unitaire et à partir de là je me suis embrouillé avec les rc().Est-ce que ça te dérangerait pas de me faire voir le patron de cette pyramide,ce serait sympa. Merci à toi. Mike.
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Bonjour,j'ai posé la question dans la rubrique concours mais personne ne m'a répondu donc je tente ici.Est-il nécessaire ou préférable pour intégrer une école d'ingénieur d'avoir la licence et sur quels sites puis-je me procurer des renseignements(concours,spécialité,programme,...)? Merci d'avance. Mike.
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Merci pour ton lien Jeacquot.Si t'en a d'autres qui proposent des exos de construction dans l'espace corrigés (ou un site qui permette de faire des sections sur un polygône et voir la tronche de la bête après) ce serait sympa de me les envoyer. Salut , Mike .
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Voici deux patrons possibles pour ladite pyramide.
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D'après ce que je vois,le 2ème patron est celui de ton 1er croquis,1 des 6 pyramides de Kheops formant le cube unitaire.Par contre le 1er patron je ne sais pas s'il est celui d'une des 3 pyramides du 2ème croquis.En plus de ça j'ai un gros blème, j'arrive pas à imbriquer les 2 autres pyramides (où sont leur sommet,où sont leur base carrée?)pour former le cube.Y a-t-il d'autres méthodes pour y arriver ou suis-je condamner à errer dans l'espace en espérant tout au plus un gros coup de pot? Faut vraiment que j'arrive à me perfectionner dans ce domaine. Tout conseil est le bienvenue. Salut. Mike
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Non,
Ce sont deux patrons de la même pyramide: la pyramide oblique du deuxième croquis
les dimensions des arêtes sont $a\ ;\ a\sqrt 2\ ;\ a \sqrt 3$
Si tu as du mal à voir comment on peut remplir le cube avec trois de ces pyramides, je te conseille vivement de les réaliser en carton et de chercher. Ce n'est pas tès difficile.
Tu peux aussi trouver des images sur Gooooooooooooogle, parce que c'est un exercice classique en collège.
Amicalment. jacquot -
C'est vrai, je n'avais pas vu que les 4 faces du 1er patron n'étaient pas du tout des triangles isocèles identiques. Ok, sympa pour tes conseils.
Merci à toi Jacquot. Salut
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