Lemme des prisonniers

Bonjour,

Je cherche à démontrer un critère de convergence de suite.

Soit $(u_n) \in \mathbb{E}^{\mathbb{N}}$ où $\mathbb{E}$ désigne un espace vectoriel de dimension finie, bornée, admettant un nombre fini de valeurs d'adhérence et telle que $u_{n+1} - u_n \rightarrow 0$. Il faut alors montrer que $(u_n)$ converge.

Encore une fois, je pense qu'il faut démontrer que les conditions $u_{n+1} - u_n \rightarrow 0$ et $(u_n)$ admet un nombre de valeur d'adhérence fini impliquent que $(u_n)$ a une unique valeur d'adhérence. Intuitivement, je conçois bien que la condition $u_{n+1} - u_n \rightarrow 0$ est incompatible avec le fait que $(u_n)$ ait au moins deux valeurs d'adhérences $a$ et $b$. En effet, en considérant deux boules disjointes centrées en $a$ et $b$, l'écart entre deux termes consécutifs de la suite sera, à partir d'un certain rang, trop faible pour que la suite prenne des valeurs dans les deux boules. L'une des deux boules ne contiendra donc des termes de $(u_n)$ que pour un nombre fini d'indices, ce qui contredit l'existence de la valeur d'adhérence...

Merci