Partie libre, génératrice de Z^n

"Famille libre minimale" ? euh rien. Mais "famille libre maximale" dans le sens où si l'on ajoute un élément, elle ne sera plus libre.

Ok je vois ... je raisonne trop comme pour les $K$-espaces vectoriels ! N'ayant jamais fait d'algèbre $\Z$-linéaire, je m'accroche à ce que je connais ... d'où mes erreurs. En fait pour travailler, je dois considérer $\Z^n$ comme un sous-groupe additif du $\Q$-espace vectoriel $\Q^n$ et voir le lien entre $\Z$-base et $\Q$-base par exemple ?

Ok Ga?,

En fait j'ai déjà montré:

1. $\Z$-libre dans $\Z^n$ équivaut à $\Z$-libre dans $\Q^n$ équivaut à $\Q$-libre dans $\Q^n$.

2. $\Z$-génératrice dans $\Z^n$ implique $\Q$-génératrice dans $\Q^n$.

Mais je n'arrive pas à montrer:

3. $\Z$ génératrice dans $\Z^n$ ET $|I| = n$ équivaut à $\Z$-base de $\Z^n$

Quand bien même ces trois affirmation en poche, je ne vois pas encore pourquoi $\Z$-libre dans $\Z^n$ implique $|I| \leqslant n$. Je vais y réfléchir...

Bonsoir,

Pour une démonstration du point 3.:

Une $\Z$-base de $\Z^n$ est par définition $\Z$-génératrice de $\Z^n$. Il reste donc à montrer que $|I|=n$. Cette base est là encore par définition $\Z$-libre dans $\Z^n$. Donc, d'après le point 1., elle est $\Q$-libre dans $\Q^n$ lequel est un $\Q$-espace vectoriel de dimension $n$ sur $\Q$. Par conséquent, une famille d'élément de $\Q^n$ ne peut être libre que si elle contient au plus $n$ éléments. Comme la famille $(a_i)_{i \in I}$ contient $|I|$ éléments, on a nécessairement $|I| \leqslant n$.

D'où le point 3.

Ca m'a l'air bon, non ?

A l'aide de ces trois points je dois ensuite démontrer les affirmations suivantes:

a) Si $(a_i)_{i \in I}$ est libre (j'imagine qu'il s'agit de $\Z$-libre ici), alors $|I| \leqslant n$:

J'utilise le point 1. qui nous dit que $(a_i)_{i \in I}$ est $\Q$-libre dans $\Q^n$. Ainsi, $|I| \leqslant n$.

b) Si $(a_i)_{i \in I}$ engendre $\Z^n$, alors $|I| \geqslant n$:

J'utilise le point 2. qui me permet alors de dire que $(a_i)_{i \in I}$ est $\Q$-génératrice dans $\Q^n$, donc que $|I| \geqslant n$.

c) Si $(a_i)_{i \in I}$ est une base (là aussi j'imagine qu'il s'agit de $\Z$-base), alors $|I|=n$:

Conséquence directe de a) et b).

d) Si $(a_i)_{i \in I}$ engendre $\Z^n$ (j'imagine $\Z$-génératrice) et $|I|=n$, alors $(a_i)_{i \in I}$ est une base ($\Z$-base !) de $\Z^n$:

D'après 2., $(a_i)_{i \in I}$ est $\Q$-génératrice dans $\Q^n$. De plus, $|I|=n$. Donc, $(a_i)_{i \in I}$ est nécessairement $\Q$-libre dans $\Q^n$. En appliquant a), j'en déduis que $(a_i)_{i \in I}$ est une $\Z$-base de $\Z^n$.

Ca vous paraît correct ?

En vous remerciant d'avance !

Ok, merci barbant raseur. Un peu plus loin, me voilà à nouveau bloqué depuis un petit moment:

Etant donné un morphisme $f: \Z^m \rightarrow \Z^n$ de groupes abéliens. Comment montrer qu'il existe une unique application $\Q$-linéaire $f_{\Q}: \Q^m \rightarrow \Q^n$ dont la restriction à $\Z^m$ est $f$ ?

J'ai gribouillé des petites choses mais rien de bien consistant je crois...

Quelqu'un pourrait-il me guider un peu ?

Merci à toutes et à tous !

Oui, ça faisait partie de mes gribouilles (:P)

Alors...

Soit $f: (\Z^m,+) \rightarrow (\Z^n,+)$ un morphisme de groupes abéliens. Je rappelle que je souhaite montre qu'il existe une unique application $f_{\Q}: (\Q^m,+,.) \rightarrow (\Q^n,+,.)$ $\Q$-linéaire dont la restriction à $\Z^m$ est $f$.

Je pense procéder par analyse-synthèse en me disant que si elle existe elle doit vérifier:

$f_{\Q} (\frac{p_1}{q_1},\ldots,\frac{p_m}{q_m}) = \frac{1}{q} f(p_1,\ldots,p_m)$
où $q$ est le produit des $q_i$.

1. $f_{\Q}$ est bien définie puisque $\frac{1}{q} f(p_1,\ldots,p_m) \in \Q^n$.
2. $f_{\Q}$ est $\Q$-linéaire car:

$\frac{s}{t} f_{\Q} (\frac{p_1}{q_1},\ldots,\frac{p_m}{q_m})= \frac{s}{qt} f(p_1,\ldots,p_m) = f_{\Q} (\frac{sp_1}{qt},\ldots,\frac{sp_m}{qt})$ d'après la $\Z$-linéarité de $f$ et la définition de $f_{\Q}$.

3. $f_{\Q}$ a naturellement $f$ pour restriction à $\Z^m$ (par construction).

4. Cependant, pourquoi $f_{\Q}$ existe ?

Là, j'ai simplement (enfin j'espère) montrer que si $f_{\Q}$ existait elle vérifiait ça.

J'ai peur de m'y perdre un peu là ...:S

Oui ! Autant pour moi ! C'est une erreur d'inattention pour les $p'_i$ qui a eu de mauvaises conséquences. Merci ! Je vais revoir ça.

Je vois bien en réfléchissant que l'image sera la même mais j'ai du mal à le formaliser avec des $k$ distincts ?
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci d'avance.